Упр.270 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Основаниями усечённой пирамиды являются правильные треугольники со сторонами $$5\ \text{см}$$ и $$3\ \text{см}$$ соответственно. Одно из боковых рёбер пирамиды перпендикулярно к плоскостям оснований и равно $$1\ \text{см}$$. Найдите площадь боковой поверхности усечённой пирамиды.
Площадь боковой поверхности усечённой пирамиды равна сумме площадей трёх боковых граней:
$$S_{\text{бок}}=S_{AA_1B_1B}+S_{AA_1C_1C}+S_{BB_1C_1C}.$$
Так как основания — правильные треугольники, то все боковые грани усечённой пирамиды являются равнобедренными трапециями.
Рассмотрим грань $$AA_1B_1B.$$ В ней основания трапеции равны $$AB=5\text{ см}$$ и $$A_1B_1=3\text{ см},$$ а высота равна $$B_1B=1\text{ см}.$$ Тогда
$$S_{AA_1B_1B}=\frac{AB+A_1B_1}{2}\cdot B_1B=\frac{5+3}{2}\cdot 1=4\text{ см}^2.$$
Аналогично
$$S_{BB_1C_1C}=4\text{ см}^2.$$
Осталось найти площадь грани $$AA_1C_1C.$$ Для этого найдём её высоту. В правильном треугольнике $$ABC$$ расстояние от вершины до середины противоположной стороны равно
$$AH=\frac{5\sqrt{3}}{2}.$$
В правильном треугольнике $$A_1B_1C_1$$ аналогично
$$A_1H_1=\frac{3\sqrt{3}}{2}.$$
Тогда расстояние между соответствующими сторонами оснований в этой грани равно
$$A_1H=AH-A_1H_1=\frac{5\sqrt{3}}{2}-\frac{3\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}.$$
Но в условии дано, что одно из боковых рёбер перпендикулярно плоскостям оснований и равно $$1\text{ см},$$ значит высота трапеции $$AA_1C_1C$$ равна
$$h=\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}=2\text{ см}.$$
Тогда
$$S_{AA_1C_1C}=\frac{AC+A_1C_1}{2}\cdot h=\frac{5+3}{2}\cdot 2=8\text{ см}^2.$$
Следовательно,
$$S_{\text{бок}}=4+8+4=16\text{ см}^2.$$
Ответ: $$16\text{ см}^2$$.
