Упр.27 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Точка $$C$$ лежит на отрезке $$AB$$, причём $$AB:BC=4:3$$. Отрезок $$CD$$, равный $$12\text{ см}$$, параллелен плоскости $$\alpha$$, проходящей через точку $$B$$. Докажите, что прямая $$AD$$ пересекает плоскость $$\alpha$$ в некоторой точке $$E$$, и найдите отрезок $$BE$$.

Так как плоскости $$ABE$$ и $$\alpha$$ пересекаются, то их линия пересечения проходит через точку $$B$$. Обозначим эту прямую через $$BE$$.

Поскольку $$CD \parallel \alpha$$ и плоскость $$ABE$$ пересекает плоскость $$\alpha$$, то прямая пересечения этих плоскостей параллельна прямой $$CD$$. Значит, $$BE \parallel CD$$.

Рассмотрим треугольник $$ABE$$. Точка $$C$$ лежит на стороне $$AB$$, а через точку $$C$$ проведена прямая $$CD$$, параллельная стороне $$BE$$. Следовательно, треугольники $$ACD$$ и $$ABE$$ подобны.

Из условия $$AB:BC=4:3$$, значит

$$AB=AC+BC.$$

Пусть $$BC=3x$$, тогда $$AB=4x$$ и $$AC=x$$. По подобию треугольников

$$\frac{AB}{AC}=\frac{BE}{CD}.$$

Подставим значения:

$$\frac{4x}{x}=\frac{BE}{12},$$

откуда

$$BE=4\cdot 12=48\text{ см}.$$

Следовательно, прямая $$AD$$ пересекает плоскость $$\alpha$$ в точке $$E$$, а $$BE=48\text{ см}.$$

Ответ: $$48\text{ см}.$$