Подготовка к ЕГЭ Задание 16 Упр.27 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

На катетах прямоугольного треугольника как на диаметрах построены окружности. Найдите их общую хорду, если катеты равны $$3$$ и $$4$$.

В прямоугольном $$\triangle ABC$$ имеем $$\angle C=90^\circ$$, $$AC=3$$, $$BC=4$$. Тогда

$$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5.$$

Пусть $$H$$ — общая хорда окружностей, построенных на катетах $$AC$$ и $$BC$$ как на диаметрах. Тогда эта хорда перпендикулярна линии центров окружностей. Центры окружностей — середины отрезков $$AC$$ и $$BC$$, значит линия центров параллельна отрезку, соединяющему середины катетов, а следовательно, параллельна $$AB$$. Поэтому $$CH \perp AB$$.

Площадь треугольника $$ABC$$ можно выразить двумя способами:

$$S=\frac12 AC\cdot BC=\frac12\cdot 3\cdot 4=6,$$

и одновременно

$$S=\frac12 AB\cdot CH.$$

Тогда

$$\frac12\cdot 5\cdot CH=6,$$

откуда

$$CH=\frac{12}{5}.$$

Ответ: $$\frac{12}{5}$$.