Упр.27 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Точка C лежит на отрезке AB, причем AB : BC = 4 : 3. Отрезок CD, равный 12 см, параллелен плоскости а, проходящей через точку В. Докажите, что прямая AD пересекает плоскость а в некоторой точке E, и найдите отрезок BE.

Подробный ответ

Пусть плоскость, проходящая через точку $$B$$, — это плоскость $$\alpha$$. Так как прямая $$CD$$ параллельна плоскости $$\alpha$$ и пересекает плоскость $$ABE$$, то линия пересечения этих плоскостей проходит через точку $$B$$ и параллельна $$CD$$. Значит, $$BE \parallel CD$$.

Рассмотрим треугольники $$ABE$$ и $$ACD$$. У них:

$$\angle A$$ — общий;
$$BE \parallel CD$$, поэтому соответствующие углы равны.

Следовательно, $$\triangle ABE \sim \triangle ACD$$.

Из подобия получаем пропорцию:

$$\frac{BE}{CD}=\frac{AB}{AC}.$$

По условию $$AB:BC=4:3$$, значит

$$AC=AB+BC.$$

Пусть $$AB=4x$$, тогда $$BC=3x$$ и $$AC=7x$$. Тогда

$$\frac{AB}{AC}=\frac{4}{7}.$$

Следовательно,

$$BE=CD\cdot \frac{4}{7}=12\cdot \frac{4}{7}=\frac{48}{7}\text{ см}.$$

Прямая $$AD$$ пересекает плоскость $$\alpha$$ в точке $$E$$, так как точка $$E$$ лежит в плоскости $$ABE=\alpha$$ и принадлежит прямой $$AD$$ по построению.