Упр.269 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Стороны оснований правильной треугольной усеченной пирамиды равны 4 дм и 2 дм, а боковое ребро равно 2 дм. Найдите высоту и апофему пирамиды.

Подробный ответ

Пусть $$ABC A_1B_1C_1$$ — правильная треугольная усечённая пирамида, где $$AB=4$$ дм, $$A_1B_1=2$$ дм, а боковое ребро $$AA_1=2$$ дм.

Рассмотрим боковую грань $$AA_1B_1B$$. Это равнобедренная трапеция, а её высота равна апофеме усечённой пирамиды.

Опустим из точки $$A_1$$ перпендикуляр $$A_1D$$ на $$AB$$. Тогда $$D$$ — середина $$AB_1$$? Нет, так как трапеция равнобедренная, основание верхнего основания расположено симметрично, и

$$ AD=\frac{AB-A_1B_1}{2}=\frac{4-2}{2}=1. $$

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $$AA_1D$$ получаем апофему:

$$ A_1D=\sqrt{AA_1^2-AD^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}\ \text{дм}. $$

Теперь найдём высоту усечённой пирамиды. Обозначим через $$O$$ и $$O_1$$ центры оснований $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$. Тогда $$OO_1$$ — высота пирамиды.

Для правильного треугольника радиус описанной окружности равен $$R=\dfrac{a}{\sqrt{3}}$$, поэтому

$$ OA=\frac{AB}{\sqrt{3}}=\frac{4}{\sqrt{3}}, \qquad O_1A_1=\frac{A_1B_1}{\sqrt{3}}=\frac{2}{\sqrt{3}}. $$

Так как основания параллельны, точки $$A, O, O_1, A_1$$ лежат в одной плоскости, и

$$ AA_1^2=OO_1^2+\left(OA-O_1A_1\right)^2. $$

Тогда

$$ OO_1=\sqrt{AA_1^2-\left(\frac{4}{\sqrt{3}}-\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^2} =\sqrt{4-\frac{4}{3}} =\sqrt{\frac{8}{3}} =\frac{2\sqrt{6}}{3}\ \text{дм}. $$