Упр.269 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Стороны оснований правильной треугольной усечённой пирамиды равны $$4\ \text{дм}$$ и $$2\ \text{дм}$$, а боковое ребро равно $$2\ \text{дм}$$. Найдите высоту и апофему пирамиды.

Пусть $$ABC A_1B_1C_1$$ — правильная треугольная усечённая пирамида, $$AB=4$$ дм, $$A_1B_1=2$$ дм, боковое ребро $$AA_1=2$$ дм. Обозначим через $$O$$ и $$O_1$$ центры оснований, а через $$H$$ — основание перпендикуляра из $$B_1$$ на $$BC$$.

Так как пирамида правильная, то боковая грань $$AA_1B_1B$$ — равнобедренная трапеция, а её высота равна апофеме усечённой пирамиды.

Найдём апофему. В равнобедренной трапеции $$AA_1B_1B$$ опустим высоту из $$A_1$$ на $$AB$$. Тогда

$$AD=\frac{AB-A_1B_1}{2}=\frac{4-2}{2}=1,$$
$$A_1D=\sqrt{AA_1^2-AD^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}\ \text{дм}.$$

Следовательно, апофема усечённой пирамиды равна $$\sqrt{3}$$ дм.

Теперь найдём высоту пирамиды. Рассмотрим сечение плоскостью, проходящей через ось пирамиды и перпендикулярной стороне основания. Тогда в этом сечении получаем прямоугольный треугольник, в котором гипотенуза равна апофеме, а один катет — половина разности радиусов описанных окружностей оснований.

Для равностороннего треугольника со стороной $$a$$ радиус описанной окружности равен $$R=\dfrac{a}{\sqrt{3}}$$. Поэтому

$$R_{ABC}=\frac{4}{\sqrt{3}}, \qquad R_{A_1B_1C_1}=\frac{2}{\sqrt{3}}.$$

Тогда разность радиусов равна

$$R_{ABC}-R_{A_1B_1C_1}=\frac{4}{\sqrt{3}}-\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2}{\sqrt{3}}.$$

По теореме Пифагора для этого сечения:

$$h^2+\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^2=\left(\sqrt{3}\right)^2,$$
$$h^2=3-\frac{4}{3}=\frac{5}{3},$$
$$h=\sqrt{\frac{5}{3}}=\frac{\sqrt{15}}{3}\ \text{дм}.$$

Ответ: $$\frac{\sqrt{15}}{3}$$ дм; $$\sqrt{3}$$ дм.