Упр.268 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Плоскость, параллельная плоскости основания правильной четырехугольной пирамиды, делит высоту пирамиды в отношении 1 : 2, считая от вершины пирамиды. Апофема полученной усеченной пирамиды равна 4 дм, а площадь ее полной поверхности равна 186 дм2. Найдите высоту усеченной пирамиды.

Обозначим сторону меньшего основания усечённой пирамиды через $$x$$. Тогда, так как сечение параллельно основанию правильной четырёхугольной пирамиды и делит высоту в отношении $$1:2$$, считая от вершины, получаем, что сторона большего основания равна $$3x$$.

Площадь полной поверхности усечённой пирамиды равна сумме площадей двух оснований и боковой поверхности:

$$ S_{\text{полн}}=x^2+(3x)^2+4\cdot \frac{x+3x}{2}\cdot 4 $$

Так как апофема усечённой пирамиды равна $$4$$ дм, то

$$ x^2+9x^2+4\cdot \frac{4x}{2}\cdot 4=186 $$

$$ 10x^2+32x-186=0 $$

Решим квадратное уравнение:

$$ D=32^2-4\cdot 10\cdot (-186)=1024+7440=8464=92^2 $$

$$ x=\frac{-32+92}{20}=3 $$

Значит, сторона меньшего основания равна $$3$$ дм, а большего — $$9$$ дм.

Теперь найдём высоту усечённой пирамиды. В осевом сечении получаем прямоугольный треугольник, где гипотенуза — апофема $$4$$, а один катет равен половине разности сторон оснований:

$$ \frac{9-3}{2}=3 $$

Тогда высота $$h$$ усечённой пирамиды находится по теореме Пифагора:

$$ h^2+3^2=4^2 $$

$$ h^2=16-9=7 $$

$$ h=\sqrt{7} $$

Ответ

$$\sqrt{7}$$ дм.