Упр.268 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Плоскость, параллельная плоскости основания правильной четырехугольной пирамиды, делит высоту пирамиды в отношении 1 : 2, считая от вершины пирамиды. Апофема полученной усеченной пирамиды равна 4 дм, а площадь ее полной поверхности равна 186 дм². Найдите высоту усеченной пирамиды.

Обозначим сторону меньшего основания усечённой пирамиды через $$x$$. Тогда сторона большего основания равна $$3x$$, так как плоскость, параллельная основанию, делит высоту пирамиды в отношении $$1:2$$, считая от вершины, а значит, линейные размеры сечений относятся как $$1:3$$.

Площадь полной поверхности усечённой пирамиды равна сумме площадей двух оснований и боковой поверхности:

$$S=(3x)^2+x^2+4\cdot \frac{3x+x}{2}\cdot 4=186.$$

Получаем

$$9x^2+x^2+32x=186,$$

$$10x^2+32x-186=0.$$

Дискриминант:

$$D=32^2-4\cdot 10\cdot(-186)=1024+7440=8464=92^2.$$

Тогда

$$x=\frac{-32+92}{20}=3.$$

Значит, стороны оснований равны $$3$$ дм и $$9$$ дм.

Рассмотрим осевое сечение пирамиды. В нём апофема усечённой пирамиды равна $$4$$ дм, а разность расстояний от оси до соответствующих сторон оснований равна половине разности сторон оснований:

$$\frac{9-3}{2}=3.$$

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного апофемой, высотой усечённой пирамиды $$h$$ и этим отрезком, имеем:

$$4^2=h^2+3^2.$$

Отсюда

$$h^2=16-9=7,$$

$$h=\sqrt{7}.$$

Ответ: $$\sqrt{7}$$ дм.