Упр.267 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Пирамида пересечена плоскостью, параллельной основанию. Докажите, что боковые рёбра и высота пирамиды делятся этой плоскостью на пропорциональные части.

Рассмотрим плоскость $$AOK$$, проходящую через высоту пирамиды $$KO$$ и любое боковое ребро $$KA$$.

Пусть плоскость $$\alpha$$ пересекает ребро $$KA$$ в точке $$A_1$$, а высоту $$KO$$ — в точке $$O_1$$. Так как $$\alpha \parallel ABCDEF$$, то прямая $$A_1O_1$$, лежащая в плоскости $$\alpha$$, параллельна прямой $$AO$$, лежащей в основании пирамиды.

В плоскости $$AOK$$ получаем треугольник $$KAO$$, в котором прямая $$A_1O_1 \parallel AO$$. Следовательно, по теореме Фалеса

$$\frac{KA_1}{KA}=\frac{KO_1}{KO}.$$

Значит, боковое ребро $$KA$$ и высота $$KO$$ делятся плоскостью $$\alpha$$ на пропорциональные части. Аналогично для любого другого бокового ребра пирамиды.

Следовательно, плоскость, параллельная основанию пирамиды, делит все боковые рёбра и высоту пирамиды на пропорциональные части.

Ответ: доказано.