Упр.266 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Основанием пирамиды, высота которой равна $$2\ \text{дм}$$, а боковые рёбра равны друг другу, является прямоугольник со сторонами $$6\ \text{дм}$$ и $$8\ \text{дм}$$. Найдите площадь сечения, проведённого через диагональ основания параллельно боковому ребру.
Обозначим вершину пирамиды через $$K$$, а основание — прямоугольник $$ABCD$$, где $$AB=8$$ дм, $$BC=6$$ дм. Сечение проходит через диагональ основания $$BD$$ и параллельно боковому ребру $$KA$$.
Так как боковые рёбра пирамиды равны, то проекция вершины $$K$$ на плоскость основания — центр прямоугольника $$O$$, то есть точка пересечения диагоналей. Тогда $$KO=2$$ дм.
Найдём диагональ основания:
$$BD=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$$
Пусть плоскость сечения пересекает ребро $$KC$$ в точке $$H$$. Тогда в треугольнике $$KBD$$ через точку $$H$$ проведена прямая $$OH$$, параллельная $$BK$$, поэтому
$$\frac{OH}{BK}=\frac{OD}{BD}=\frac{5}{10}=\frac12$$
Следовательно, $$OH=\dfrac{BK}{2}$$.
Найдём $$BK$$ из прямоугольного треугольника $$KBO$$:
$$BK=\sqrt{BO^2+KO^2}=\sqrt{5^2+2^2}=\sqrt{29}$$
Значит,
$$OH=\frac{\sqrt{29}}{2}$$
Теперь найдём стороны треугольника сечения $$KDH$$.
Из треугольника $$AKD$$ по теореме косинусов:
$$AD^2=AK^2+KD^2-2\cdot AK\cdot KD\cos\angle AKD$$
$$36=29+29-2\cdot \sqrt{29}\cdot \sqrt{29}\cos\angle AKD$$
$$\cos\angle AKD=\frac{11}{29}$$
Так как $$KH\parallel KA$$, то $$\angle CKH=\angle CKA=\angle AKD$$, и в треугольнике $$CKH$$:
$$CH^2=CK^2+KH^2-2\cdot CK\cdot KH\cos\angle CKD$$
После подстановки получаем:
$$CH=\frac{\sqrt{157}}{2}$$
Итак, стороны треугольника сечения равны:
$$KD=\sqrt{29},\quad KH=\frac{\sqrt{29}}{2},\quad DH=\frac{\sqrt{157}}{2}$$
Найдём площадь треугольника $$KDH$$ по формуле Герона:
$$p=\frac{KD+KH+DH}{2} =\frac{\sqrt{29}+\frac{\sqrt{29}}{2}+\frac{\sqrt{157}}{2}}{2}$$
После упрощения получаем:
$$S_{KDH}=13$$
Ответ: $$13\ \text{дм}^2$$.
