Упр.265 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- В правильной треугольной пирамиде боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом $$60^\circ$$. Через сторону основания проведена плоскость под углом $$30^\circ$$ к плоскости основания. Найдите площадь получившегося сечения, если сторона основания пирамиды равна $$12\ \text{см}$$.
Пусть $$ABC$$ — основание правильной треугольной пирамиды, $$AB=BC=CA=12$$ см, $$D$$ — вершина пирамиды, $$DO\perp ABC$$. Проведём сечение плоскостью через сторону $$AB$$ так, что угол между этой плоскостью и плоскостью основания равен $$30^\circ$$. Обозначим линию пересечения плоскостей через $$AB$$, а в сечении — отрезок $$AK$$, где $$K\in DC$$.
Так как пирамида правильная, то $$\triangle ABC$$ — равносторонний, а точка $$H$$ — середина стороны $$AB$$. Тогда $$CH$$ — медиана и высота, значит $$CH\perp AB$$.
Рассмотрим двугранный угол между плоскостью сечения и плоскостью основания. Его линейный угол равен $$\angle CHK=30^\circ$$, поэтому в прямоугольном треугольнике $$CHK$$ имеем
$$KH=CH\cos 30^\circ.$$
Найдём $$CH$$:
$$CH=\frac{\sqrt{3}}{2}\,BC=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 12=6\sqrt{3}.$$
Тогда
$$KH=6\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=9\text{ см}.$$
Площадь сечения $$AKB$$ равна площади треугольника с основанием $$AB$$ и высотой $$KH$$:
$$S_{AKB}=\frac12\cdot AB\cdot KH=\frac12\cdot 12\cdot 9=54\text{ см}^2.$$
Ответ: $$54\text{ см}^2$$.
