Упр.265 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: B правильной треугольной пирамиде боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 60°. Через сторону основания проведена плоскость под углом 30° к плоскости основания. Найдите площадь получившегося сечения, если сторона основания пирамиды равна 12 см.

Подробный ответ

Пусть $$ABC$$ — основание правильной треугольной пирамиды, $$D$$ — её вершина, $$AB=BC=CA=12$$ см. Обозначим через $$K$$ точку пересечения секущей плоскости со стороной $$AC$$, а через $$H$$ — основание перпендикуляра из $$K$$ на $$AB$$.

Так как пирамида правильная, то $$\triangle ABC$$ — равносторонний, а высота $$CH$$ является также медианой. Аналогично в боковой грани соответствующая линия, проведённая через точку $$K$$, перпендикулярна $$AB$$. Поэтому угол между следом секущей плоскости и плоскостью основания равен $$30^\circ$$, то есть

$$\angle CHK=30^\circ.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$CHK$$. Тогда

$$KH=CH\cdot \cos 30^\circ.$$

Найдём $$CH$$. В равностороннем треугольнике

$$CH=BC\cdot \sin 60^\circ=12\cdot \frac{\sqrt3}{2}=6\sqrt3.$$

Следовательно,

$$KH=6\sqrt3\cdot \frac{\sqrt3}{2}=9.$$

Сечение — треугольник $$ABK$$, поэтому его площадь равна

$$S_{ABK}=\frac12\cdot AB\cdot KH=\frac12\cdot 12\cdot 9=54.$$