Упр.264 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной пирамиды, если сторона её основания равна $$a$$, а площадь боковой грани равна площади сечения, проведённого через вершину пирамиды и большую диагональ основания.
Пусть $$O$$ — центр правильного шестиугольника основания, $$K$$ — вершина пирамиды. Обозначим через $$S_{бок}$$ площадь боковой поверхности.
Боковая грань пирамиды — равнобедренный треугольник, например $$\triangle KAB$$, где $$AB=a$$. Его площадь равна
$$S_{KAB}=\frac12\cdot AB\cdot KH=\frac12\cdot a\cdot KH,$$
где $$KH$$ — высота боковой грани.
Сечение, проведённое через вершину пирамиды и большую диагональ основания, например через диагональ $$AD$$, даёт треугольник $$\triangle KAD$$. Так как $$AD$$ — большая диагональ правильного шестиугольника, то
$$AD=2a.$$
Площадь этого сечения равна
$$S_{KAD}=\frac12\cdot AD\cdot KO=\frac12\cdot 2a\cdot KO=a\cdot KO,$$
где $$KO$$ — высота этого треугольника.
По условию
$$S_{KAB}=S_{KAD},$$
значит
$$\frac12 a\cdot KH=a\cdot KO \quad \Rightarrow \quad KH=2KO.$$
Теперь выразим $$KH$$ и $$KO$$ через сторону $$a$$. В правильном шестиугольнике
$$OA=\frac{\sqrt3}{2}a.$$
В прямоугольном треугольнике $$KOH$$ имеем
$$KH^2=KO^2+OH^2,$$
а так как $$OH=OA=\frac{\sqrt3}{2}a,$$ то
$$KH^2=KO^2+\frac{3a^2}{4}.$$
С другой стороны, из $$KH=2KO$$ получаем
$$KH^2=4KO^2.$$
Тогда
$$4KO^2=KO^2+\frac{3a^2}{4},$$
$$3KO^2=\frac{3a^2}{4},$$
$$KO^2=\frac{a^2}{4}, \qquad KO=\frac a2.$$
Следовательно,
$$KH=2KO=a.$$
Тогда площадь одной боковой грани:
$$S_{KAB}=\frac12\cdot a\cdot a=\frac{a^2}{2}.$$
У пирамиды 6 боковых граней, значит
$$S_{бок}=6\cdot \frac{a^2}{2}=3a^2.$$
Ответ: $$3a^2$$.
