Упр.263 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- В правильной пирамиде $$MABCD$$ точки $$K$$, $$L$$ и $$N$$ лежат соответственно на рёбрах $$BC$$, $$MC$$ и $$AD$$, причём $$KN \parallel BA$$, $$KL \parallel BM$$.
а) Постройте сечение пирамиды плоскостью $$KLN$$ и определите вид сечения.
б) Докажите, что плоскость $$KLN$$ параллельна плоскости $$AMB$$.
Так как $$KL \parallel MB$$ и $$KN \parallel AB,$$ то прямые $$KL$$ и $$KN$$ лежат в плоскости $$KLN$$ и соответственно параллельны прямым $$MB$$ и $$AB$$, лежащим в плоскости $$AMB$$. Следовательно, плоскости $$KLN$$ и $$AMB$$ параллельны.
Чтобы построить сечение, проведём через точку $$L$$ прямую, параллельную $$AN$$, а через точку $$N$$ — прямую, параллельную $$LM$$. Эти прямые пересекут рёбра пирамиды в точках $$P$$ и $$Q$$, и сечение будет четырёхугольником $$KLPN$$.
Так как в плоскости $$KLN$$ имеются две пересекающиеся прямые $$KL$$ и $$KN,$$ соответственно параллельные двум пересекающимся прямым $$MB$$ и $$AB$$ плоскости $$AMB,$$ то $$KLN \parallel AMB.$$
Кроме того, в сечении $$KLPN$$ противоположные стороны попарно параллельны: $$KL \parallel PN$$ и $$KN \parallel LP,$$ значит, $$KLPN$$ — параллелограмм. Но поскольку плоскость $$KLN$$ параллельна плоскости основания $$AMB,$$ а пирамида правильная, сечение имеет вид трапеции.
Ответ: сечение $$KLPN$$; $$KLN \parallel AMB$$.
