Упр.262 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Докажите, что плоскость, проходящая через высоту правильной пирамиды и высоту боковой грани, перпендикулярна к плоскости боковой грани.

Пусть $$DO$$ — высота правильной пирамиды, а $$CH$$ — высота боковой грани $$DBC$$, то есть $$CH \perp DB$$.

Так как основание пирамиды $$ABC$$ — правильный треугольник, то точка $$O$$ — его центр. Следовательно, $$DO \perp (ABC)$$, а значит, $$DO \perp BC$$.

В плоскости $$CDE$$ лежат прямые $$DO$$ и $$CH$$. Докажем, что они обе перпендикулярны плоскости $$ABD$$.

Из правильности пирамиды имеем $$DA=DB=DC$$, поэтому в треугольнике $$DBC$$ медиана $$DO$$ является также высотой, то есть $$DO \perp BC$$. Кроме того, в равностороннем треугольнике $$DBC$$ высота $$CH$$ является и медианой, значит, $$H$$ — середина $$DB$$, а прямая $$CH \perp DB$$.

Поскольку $$DO \perp (ABC)$$, то $$DO \perp AB$$. Также $$CH \perp DB$$ и $$CH \perp AB$$, так как $$AB \subset (ABD)$$ и $$DB \subset (ABD)$$, а прямая $$CH$$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости $$ABD$$.

Итак, в плоскости $$CDE$$ находятся две пересекающиеся прямые $$DO$$ и $$CH$$, обе перпендикулярные плоскости $$ABD$$. Следовательно,

$$(CDE) \perp (ABD).$$

Ответ: $$CDE \perp ABD$$.