Упр.262 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Докажите, что плоскость, проходящая через высоту правильной пирамиды и высоту боковой грани, перпендикулярна к плоскости боковой грани.

Подробный ответ

Пусть $$DO$$ — высота правильной пирамиды, а $$CH$$ — высота боковой грани $$DBC$$. Тогда нужно доказать, что плоскость $$CDE$$ перпендикулярна плоскости $$ABD$$.

Так как пирамида правильная, то основание $$ABC$$ — равносторонний треугольник, а точка $$O$$ — его центр. Следовательно, $$DO \perp ABC$$.

В равностороннем треугольнике $$DBC$$ высота $$CH$$ является также медианой, поэтому $$H$$ — середина стороны $$DB$$. Тогда прямая $$CH$$ лежит в плоскости боковой грани $$DBC$$ и перпендикулярна $$DB$$.

Из правильности пирамиды имеем $$DA=DB=DC$$. Значит, треугольник $$DBC$$ равнобедренный, и высота $$CH$$, проведённая к основанию $$DB$$, действительно перпендикулярна $$DB$$.

Кроме того, в равностороннем треугольнике $$ABC$$ медиана $$AO$$ является высотой, поэтому $$AO \perp BC$$. Так как $$DO \perp ABC$$, то прямая $$DO$$ перпендикулярна любой прямой плоскости $$ABC$$, в частности $$DO \perp BC$$.

Следовательно, прямая $$BC$$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $$DO$$ и $$CH$$, лежащим в плоскости $$CDE$$. Значит, $$BC \perp (CDE)$$.

Аналогично, прямая $$AB$$ перпендикулярна плоскости $$CDE$$, поскольку $$AB \perp CH$$ и $$AB \perp DE$$.

Так как в плоскости $$ABD$$ лежат пересекающиеся прямые $$AB$$ и $$BD$$, а обе они перпендикулярны плоскости $$CDE$$, то

$$ (CDE) \perp (ABD). $$