Упр.261 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Докажите, что в правильной треугольной пирамиде скрещивающиеся рёбра взаимно перпендикулярны.

Подробный ответ

Пусть $$DABC$$ — правильная треугольная пирамида. Тогда основание $$ABC$$ — равносторонний треугольник, а $$DO \perp (ABC)$$, где $$O$$ — центр треугольника $$ABC$$.

Докажем, что скрещивающиеся рёбра пирамиды взаимно перпендикулярны. Достаточно показать, что одно из боковых рёбер перпендикулярно противоположному ребру основания.

Рассмотрим ребро $$DC$$ и ребро $$AB$$. Так как пирамида правильная, то $$DA=DB=DC$$. Следовательно, точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$ равноудалены от точки $$D$$, а значит, лежат на окружности с центром в точке $$O$$, и прямая $$DO$$ перпендикулярна плоскости $$ABC$$.

В равностороннем треугольнике $$ABC$$ медиана $$CK$$, проведённая к стороне $$AB$$, является также высотой, поэтому $$CK \perp AB$$. Кроме того, в правильной пирамиде точка $$O$$ лежит на медиане $$CK$$, значит, прямая $$DO$$ лежит в плоскости $$DCK$$.

Плоскость $$DCK$$ содержит две пересекающиеся прямые $$DO$$ и $$CK$$, причём

$$DO \perp (ABC), \qquad CK \subset (ABC), \qquad CK \perp AB.$$

Следовательно, прямая $$AB$$ перпендикулярна плоскости $$DCK$$, а значит, она перпендикулярна любой прямой этой плоскости, в частности прямой $$DC$$.

Итак, $$DC \perp AB$$. Аналогично доказывается, что и другие скрещивающиеся рёбра правильной треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны.

Ответ: скрещивающиеся рёбра правильной треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны.