Упр.260 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

В правильной треугольной пирамиде $$DABC$$ через боковое ребро $$DC$$ и высоту $$DO$$ пирамиды проведена плоскость $$\alpha$$. Докажите, что:
а) ребро $$AB$$ перпендикулярно к плоскости $$\alpha$$;
б) перпендикуляр, проведённый из вершины $$C$$ к апофеме грани $$ADB$$, является перпендикуляром к плоскости $$ADB$$.

Пусть $$\alpha$$ — плоскость, проведённая через ребро $$DC$$ и высоту $$DO$$ пирамиды.

Так как основание $$ABC$$ — равносторонний треугольник, а $$O$$ — его центр, то прямая $$CO$$ является медианой и высотой треугольника $$ABC$$. Следовательно, $$CO \perp AB$$.

Поскольку $$DO \perp (ABC)$$, то $$DO \perp AB$$. Прямые $$CO$$ и $$DO$$ пересекаются и лежат в плоскости $$\alpha$$, значит, прямая $$AB$$ перпендикулярна плоскости $$\alpha$$:

$$AB \perp \alpha.$$

Докажем теперь второе утверждение. В грани $$ADB$$ треугольник $$ADB$$ равнобедренный, так как $$DA=DB$$. Пусть $$K$$ — основание перпендикуляра, опущенного из вершины $$C$$ на апофему этой грани. Тогда $$CK \perp DE$$, где $$DE$$ — апофема грани $$ADB$$.

Так как в равнобедренном треугольнике $$ADB$$ апофема $$DE$$ является также медианой, то точка $$E$$ — середина $$AB$$. Из пункта а) уже известно, что $$AB \perp \alpha$$, а значит, $$AB \perp CK$$ и $$AB \perp DE$$. Следовательно, прямая $$CK$$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $$AB$$ и $$DE$$, лежащим в плоскости $$ADB$$. Поэтому

$$CK \perp (ADB).$$

Таким образом, перпендикуляр, проведённый из вершины $$C$$ к апофеме грани $$ADB$$, является перпендикуляром к плоскости $$ADB$$.