Упр.260 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: B правильной треугольной пирамиде DABC через боковое ребро DC и высоту DO пирамиды проведена плоскость а. Докажите, что: а) ребро AB перпендикулярно к плоскости а; б) перпендикуляр, проведенный из вершины C к апофеме грани ADB, является перпендикуляром к плоскости ADB.

Подробный ответ

Обозначим через $$E$$ середину ребра $$AB$$. Так как пирамида правильная, то $$DA=DB=DC$$, а основание $$ABC$$ — равносторонний треугольник, значит $$AB=BC=CA$$.

Рассмотрим плоскость $$\alpha$$, проходящую через ребро $$DC$$ и высоту $$DO$$ пирамиды. Поскольку $$O$$ — центр равностороннего треугольника $$ABC$$, прямая $$CO$$ является медианой и высотой треугольника $$ABC$$. Тогда в равнобедренном треугольнике $$ABC$$ медиана $$CE$$ к основанию $$AB$$ является высотой, то есть

$$CE \perp AB.$$

Аналогично, в равнобедренном треугольнике $$ADB$$ медиана $$DE$$ к основанию $$AB$$ является высотой, значит

$$DE \perp AB.$$

Прямые $$CO$$ и $$DE$$ лежат в плоскости $$\alpha$$ и пересекаются в точке $$E$$. Следовательно, прямая $$AB$$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости $$\alpha$$, а значит

$$AB \perp \alpha.$$

Теперь докажем второе утверждение. Пусть $$CH \perp DE$$, где $$H \in DE$$. Так как $$DE \perp AB$$, а также $$CH \perp DE$$, то прямая $$CH$$ перпендикулярна плоскости $$ABD$$, поскольку $$DE$$ и $$AB$$ — пересекающиеся прямые этой плоскости.

Итак, перпендикуляр, проведённый из вершины $$C$$ к апофеме грани $$ADB$$, является перпендикуляром к плоскости $$ABD$$.