Упр.259 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: B правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 6 см, а угол наклона боковой грани к плоскости основания равен 60°. Найдите боковое ребро пирамиды.

Подробный ответ

Пусть $$O$$ — центр основания правильной четырёхугольной пирамиды, $$E$$ — середина стороны основания $$AB$$. Тогда $$OE \perp AB$$, а двугранный угол между боковой гранью и плоскостью основания равен углу $$\angle KEO=60^\circ$$.

В правильном квадрате со стороной $$AB=6$$ см имеем

$$OE=\frac{AB}{2}=3\text{ см}.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$KEO$$. Так как $$\angle KEO=60^\circ$$, то

$$\cos 60^\circ=\frac{OE}{KE}.$$

Отсюда

$$KE=\frac{OE}{\cos 60^\circ}=\frac{3}{1/2}=6\text{ см}.$$

Теперь в прямоугольном треугольнике $$AKE$$ по теореме Пифагора найдём боковое ребро $$KA$$:

$$KA^2=KE^2+AE^2.$$

Так как $$AE=\frac{AB}{2}=3\text{ см}$$, то

$$KA^2=6^2+3^2=36+9=45,$$

$$KA=\sqrt{45}=3\sqrt{5}\text{ см}.$$

Поскольку пирамида правильная, все боковые рёбра равны: