Упр.258 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды образует угол в 60° с плоскостью основания. Найдите площадь поверхности пирамиды, если боковое ребро равно 12 см.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AOK$$, где $$O$$ — центр квадрата основания, а $$K$$ — вершина пирамиды. Так как боковое ребро $$KA$$ образует с плоскостью основания угол $$60^\circ$$, то в треугольнике $$AOK$$ имеем
$$\angle KAO=60^\circ,\qquad KA=12\text{ см}.$$
Тогда
$$AO=KA\cos 60^\circ=12\cdot \frac12=6\text{ см},$$
$$KO=KA\sin 60^\circ=12\cdot \frac{\sqrt3}{2}=6\sqrt3\text{ см}.$$
Поскольку $$O$$ — центр квадрата, то $$AO$$ равно половине диагонали основания. Значит, диагональ квадрата
$$AC=2AO=12\text{ см},$$
а сторона квадрата
$$AB=\frac{AC}{\sqrt2}=\frac{12}{\sqrt2}=6\sqrt2\text{ см}.$$
Площадь основания:
$$S_{\text{осн}}=AB^2=(6\sqrt2)^2=72\text{ см}^2.$$
Найдём апофему боковой грани. Пусть $$E$$ — середина стороны основания. Тогда $$OE=\dfrac{AB}{2}=3\sqrt2\text{ см}$$, и в прямоугольном треугольнике $$KOE$$
$$KE=\sqrt{KO^2+OE^2}=\sqrt{(6\sqrt3)^2+(3\sqrt2)^2}=\sqrt{108+18}=\sqrt{126}=3\sqrt{14}\text{ см}.$$
Площадь одной боковой грани:
$$S_1=\frac12\cdot AB\cdot KE=\frac12\cdot 6\sqrt2\cdot 3\sqrt{14}=18\sqrt7\text{ см}^2.$$
Всего боковых граней четыре, поэтому
$$S_{\text{бок}}=4S_1=72\sqrt7\text{ см}^2.$$
Тогда полная площадь поверхности пирамиды равна
$$S=S_{\text{осн}}+S_{\text{бок}}=72+72\sqrt7\text{ см}^2.$$
Ответ: $$72+72\sqrt7\text{ см}^2.$$
