Упр.257 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
Высота правильной треугольной пирамиды равна $$h$$, а двугранный угол при стороне основания равен $$45^\circ$$. Найдите площадь поверхности пирамиды.
Пусть $$ABC$$ — основание правильной треугольной пирамиды, $$D$$ — её вершина, $$O$$ — центр основания, $$h=DO$$. Обозначим через $$E$$ середину стороны $$BC$$. Тогда $$DE$$ — апофема пирамиды, а в правильной пирамиде $$DE \perp BC$$.
Рассмотрим сечение $$DOE$$. Угол между боковой гранью и основанием равен двугранному углу при стороне основания, значит
$$\angle DEO=45^\circ.$$
В прямоугольном треугольнике $$DOE$$ имеем
$$\tg 45^\circ=\frac{DO}{OE}=\frac{h}{OE},$$
откуда
$$OE=h.$$
Но в равностороннем треугольнике $$ABC$$ отрезок $$OE$$ — это радиус вписанной окружности, поэтому
$$OE=\frac{x\sqrt{3}}{6},$$
где $$x=AB=BC=CA$$. Следовательно,
$$\frac{x\sqrt{3}}{6}=h \quad \Rightarrow \quad x=2\sqrt{3}\,h.$$
Теперь найдём апофему $$DE$$ из прямоугольного треугольника $$DOE$$:
$$DE^2=DO^2+OE^2=h^2+h^2=2h^2,$$
значит
$$DE=\sqrt{2}\,h.$$
Площадь основания:
$$S_{\text{осн}}=\frac{\sqrt{3}}{4}x^2=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot (2\sqrt{3}\,h)^2=3\sqrt{3}\,h^2.$$
Площадь одной боковой грани:
$$S_{\text{бок,1}}=\frac{1}{2}\cdot x \cdot DE=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{3}\,h \cdot \sqrt{2}\,h=\sqrt{6}\,h^2.$$
Так как боковых граней три, то
$$S_{\text{бок}}=3\sqrt{6}\,h^2.$$
Тогда полная площадь поверхности пирамиды равна
$$S=S_{\text{осн}}+S_{\text{бок}}=3\sqrt{3}\,h^2+3\sqrt{6}\,h^2=3h^2(\sqrt{3}+\sqrt{6}).$$
Ответ
$$3h^2(\sqrt{3}+\sqrt{6})$$
