Упр.257 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Высота правильной треугольной пирамиды равна h, а двугранный угол при стороне основания равен 45°. Найдите площадь поверхности пирамиды.

Пусть $$ABC$$ — основание правильной треугольной пирамиды, $$D$$ — её вершина, $$DO=h$$ — высота пирамиды, $$O$$ — центр равностороннего треугольника $$ABC$$. Проведём $$OE \perp BC$$, тогда $$E$$ — середина стороны $$BC$$, а $$DE$$ — высота боковой грани $$DBC$$.

Рассмотрим сечение плоскостью $$DOE$$. Угол между боковой гранью и основанием при стороне $$BC$$ равен двугранному углу $$\angle DEO=45^\circ$$. В прямоугольном треугольнике $$DOE$$ имеем

$$\tg 45^\circ=\frac{DO}{OE}=\frac{h}{OE},$$

откуда

$$OE=h.$$

Но в равностороннем треугольнике $$ABC$$ отрезок $$OE$$ — это радиус вписанной окружности, поэтому

$$OE=\frac{x\sqrt{3}}{6},$$

где $$x=BC$$. Тогда

$$\frac{x\sqrt{3}}{6}=h \quad \Rightarrow \quad x=2\sqrt{3}\,h.$$

Теперь найдём высоту боковой грани $$DE$$ из прямоугольного треугольника $$DOE$$:

$$DE^2=DO^2+OE^2=h^2+h^2=2h^2,$$

значит

$$DE=\sqrt{2}\,h.$$

Площадь основания:

$$S_{ABC}=\frac{x^2\sqrt{3}}{4}=\frac{(2\sqrt{3}\,h)^2\sqrt{3}}{4}=3\sqrt{3}\,h^2.$$

Площадь одной боковой грани:

$$S_{DBC}=\frac{1}{2}\cdot BC \cdot DE=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{3}\,h \cdot \sqrt{2}\,h=\sqrt{6}\,h^2.$$

Так как граней три, то полная площадь поверхности пирамиды равна

$$S=S_{ABC}+3S_{DBC}=3\sqrt{3}\,h^2+3\sqrt{6}\,h^2=3h^2(\sqrt{3}+\sqrt{6}).$$

Ответ

$$3h^2(\sqrt{3}+\sqrt{6})$$