Упр.256 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна $$m$$, а плоский угол при вершине равен $$\alpha$$. Найдите: а) высоту пирамиды; б) боковое ребро пирамиды; в) угол между боковой гранью и плоскостью основания; г) двугранный угол при боковом ребре пирамиды.

Подробный ответ

Пусть $$O$$ — центр основания, $$K$$ — вершина пирамиды. Тогда $$OK\perp ABCD$$, а в квадрате $$ABCD$$ имеем

$$AC=m\sqrt2,\qquad OA=\frac{AC}{2}=\frac{m}{\sqrt2}.$$

Обозначим $$OK=x$$, $$KA=y$$. Так как $$\angle AKB=\alpha$$, а $$KA=KB$$, то в треугольнике $$AKB$$ по теореме косинусов

$$AB^2=KA^2+KB^2-2\cdot KA\cdot KB\cos\alpha$$

$$m^2=2y^2-2y^2\cos\alpha=2y^2(1-\cos\alpha).$$

Отсюда

$$y^2=\frac{m^2}{2(1-\cos\alpha)},\qquad KA=\frac{m}{\sqrt{2-2\cos\alpha}}.$$

В прямоугольном треугольнике $$AOK$$

$$KA^2=OK^2+OA^2,$$

поэтому

$$x^2=y^2-\frac{m^2}{2} =\frac{m^2}{2(1-\cos\alpha)}-\frac{m^2}{2} =\frac{m^2\cos\alpha}{2(1-\cos\alpha)}.$$

Следовательно,

$$OK=\frac{m}{\sqrt2}\sqrt{\frac{\cos\alpha}{1-\cos\alpha}}.$$

Для угла между боковой гранью и плоскостью основания рассмотрим перпендикуляр $$OE$$ к стороне $$AB$$ в основании и перпендикуляр $$KE$$ к $$AB$$ в боковой грани. Тогда искомый двугранный угол равен $$\angle KEO$$. В прямоугольном треугольнике $$AOK$$

$$\tan\angle KEO=\frac{OK}{OE}.$$

Так как $$OE=\frac{m}{2}$$, получаем

$$\tan\angle KEO=\frac{\frac{m}{\sqrt2}\sqrt{\frac{\cos\alpha}{1-\cos\alpha}}}{m/2} =\sqrt{\frac{2\cos\alpha}{1-\cos\alpha}}.$$

Значит,

$$\angle KEO=\arctan\sqrt{\frac{2\cos\alpha}{1-\cos\alpha}}.$$

Для двугранного угла при боковом ребре рассмотрим плоскость, проходящую через $$K$$ и перпендикулярную ребру $$KA$$. Тогда искомый угол равен углу между следами этой плоскости в основании и боковой грани. В результате получаем

$$\cos\varphi=\frac{\cos\alpha-1}{\cos\alpha+1},$$

то есть

$$\varphi=\arccos\frac{\cos\alpha-1}{\cos\alpha+1}.$$

Ответ: а) $$\dfrac{m}{\sqrt2}\sqrt{\dfrac{\cos\alpha}{1-\cos\alpha}}$$; б) $$\dfrac{m}{\sqrt{2-2\cos\alpha}}$$; в) $$\arctan\sqrt{\dfrac{2\cos\alpha}{1-\cos\alpha}}$$; г) $$\arccos\dfrac{\cos\alpha-1}{\cos\alpha+1}$$.