Упр.255 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна $$8\text{ см}$$, а плоский угол при вершине равен $$\varphi$$. Найдите высоту этой пирамиды.

Пусть $$DO=H$$ — высота правильной треугольной пирамиды, а сторона основания равна $$a=8$$.

Обозначим через $$O$$ центр основания, а через $$M$$ — середину стороны основания. Тогда в правильном треугольнике $$ABC$$ отрезок $$OM$$ является радиусом вписанной окружности, поэтому

$$OM=\frac{a\sqrt{3}}{6}=\frac{8\sqrt{3}}{6}=\frac{4\sqrt{3}}{3}.$$

Плоский угол при вершине равен $$\varphi$$, значит в сечении $$DMC$$ имеем

$$\tan\frac{\varphi}{2}=\frac{OM}{DM}.$$

Так как $$DM^2=DO^2+OM^2$$, то

$$DM=\sqrt{H^2+OM^2}.$$

Подставим это в формулу для тангенса:

$$\tan\frac{\varphi}{2}=\frac{OM}{\sqrt{H^2+OM^2}}.$$

Возведём в квадрат и выразим $$H^2$$:

$$\tan^2\frac{\varphi}{2}=\frac{OM^2}{H^2+OM^2}$$

$$H^2=OM^2\left(\frac{1}{\tan^2\frac{\varphi}{2}}-1\right).$$

Подставляя $$OM^2=\frac{16}{3}$$, получаем

$$H^2=\frac{16}{3}\left(\frac{1-\tan^2\frac{\varphi}{2}}{\tan^2\frac{\varphi}{2}}\right).$$

Используем формулу

$$\cos\varphi=\frac{1-\tan^2\frac{\varphi}{2}}{1+\tan^2\frac{\varphi}{2}}.$$

Тогда после преобразований

$$H^2=\frac{32(1+\cos\varphi)}{3(1-\cos\varphi)}.$$

Следовательно,

$$H=4\sqrt{\frac{2+4\cos\varphi}{3-3\cos\varphi}}.$$

Ответ: $$4\sqrt{\frac{2+4\cos\varphi}{3-3\cos\varphi}}$$.