Упр.255 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: B правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 8 см, а плоский угол при вершине равен ф. Найдите высоту этой пирамиды.

Подробный ответ

Пусть $$DO=H$$ — высота пирамиды, а $$ABC$$ — равносторонний треугольник со стороной $$8$$. Обозначим через $$M$$ середину стороны $$BC$$. Тогда в правильной треугольной пирамиде $$OM$$ — радиус вписанной окружности основания, а $$DM$$ — апофема боковой грани.

В равностороннем треугольнике $$ABC$$ имеем

$$S_{ABC}=\frac{8^2\sqrt{3}}{4}=16\sqrt{3}, \qquad p=\frac{8+8+8}{2}=12,$$

поэтому

$$OM=\frac{S_{ABC}}{p}=\frac{16\sqrt{3}}{12}=\frac{4\sqrt{3}}{3}.$$

Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину $$D$$, центр основания $$O$$ и середину ребра $$BC$$. В треугольнике $$DOM$$ угол при $$O$$ прямой, так как $$DO\perp ABC$$, значит $$DO\perp OM$$.

Плоский угол при вершине равен $$\varphi$$, то есть в равнобедренном треугольнике $$DBC$$ угол $$\angle CDB=\varphi$$. Тогда в сечении $$DOM$$

$$\tan\frac{\varphi}{2}=\frac{OM}{DO}.$$

Отсюда

$$DO=\frac{OM}{\tan\frac{\varphi}{2}}=\frac{4\sqrt{3}}{3\tan\frac{\varphi}{2}}.$$

Используем формулу

$$\tan\frac{\varphi}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos\varphi}{1+\cos\varphi}}.$$

Тогда

$$DO=\frac{4\sqrt{3}}{3}\sqrt{\frac{1+\cos\varphi}{1-\cos\varphi}}=4\sqrt{\frac{1+\cos\varphi}{3(1-\cos\varphi)}}.$$