Упр.254 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна $$a$$, высота равна $$H$$. Найдите: а) боковое ребро пирамиды; б) плоский угол при вершине пирамиды; в) угол между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды; г) угол между боковой гранью и основанием пирамиды; д) двугранный угол при боковом ребре пирамиды.

Пусть $$O$$ — центр равностороннего треугольника $$ABC$$, а $$DO\perp (ABC)$$, $$DO=H$$. Тогда $$OA$$ — радиус описанной окружности треугольника $$ABC$$:

$$OA=\frac{a}{\sqrt{3}}.$$

Рассмотрим по пунктам.

1. Боковое ребро пирамиды:

   $$DA=\sqrt{DO^2+OA^2}=\sqrt{H^2+\frac{a^2}{3}}.$$

2. Плоский угол при вершине пирамиды — это угол $$\angle CDB$$. В треугольнике $$DCB$$ по теореме косинусов:

   $$BC^2=BD^2+CD^2-2\cdot BD\cdot CD\cdot \cos\angle CDB.$$

   Так как $$BD=CD=DA$$ и $$BC=a$$, получаем

   $$a^2=2DA^2-2DA^2\cos\angle CDB,$$

   откуда

   $$\cos\angle CDB=1-\frac{a^2}{2DA^2}.$$

   Подставляя $$DA^2=H^2+\frac{a^2}{3}$$, имеем

   $$\cos\angle CDB=\frac{6H^2-a^2}{6H^2+2a^2}.$$

3. Угол между боковым ребром и плоскостью основания — это угол $$\angle DBO$$. В прямоугольном треугольнике $$DBO$$:

   $$\tan\angle DBO=\frac{DO}{BO}.$$

   Так как $$BO=OA=\frac{a}{\sqrt{3}}$$, то

   $$\tan\angle DBO=\frac{H}{a/\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}\,H}{a}.$$

4. Угол между боковой гранью и основанием — это двугранный угол при ребре $$AB$$, его линейный угол обозначим $$\angle DEO$$. Для него

   $$\tan\angle DEO=\frac{DO}{OE}.$$

   В равностороннем треугольнике $$ABC$$ точка $$E$$ — середина стороны $$AB$$, поэтому $$OE$$ — радиус вписанной окружности:

   $$OE=\frac{a}{2\sqrt{3}}.$$

   Тогда

   $$\tan\angle DEO=\frac{H}{a/(2\sqrt{3})}=\frac{2\sqrt{3}\,H}{a}.$$

5. Двугранный угол при боковом ребре найдём как угол между плоскостями $$DAB$$ и $$DBC$$. Обозначим через $$F$$ середину ребра $$AB$$. Тогда в боковой грани $$DAB$$ прямая $$DF$$ перпендикулярна $$AB$$, а в грани $$DBC$$ прямая $$CF$$ перпендикулярна $$AB$$. Следовательно, искомый двугранный угол равен $$\angle DFC$$.

   Из симметрии пирамиды $$DF=CF$$, а в треугольнике $$DFC$$ по теореме косинусов:

   $$DC^2=DF^2+CF^2-2\cdot DF\cdot CF\cdot \cos\angle DFC.$$

   После вычислений получаем

   $$\cos\angle DFC=\frac{6H^2-a^2}{12H^2+a^2}.$$

Ответ: $$DA=\sqrt{H^2+\frac{a^2}{3}}$$; $$\cos\angle CDB=\frac{6H^2-a^2}{6H^2+2a^2}$$; $$\tan\angle DBO=\frac{\sqrt{3}\,H}{a}$$; $$\tan\angle DEO=\frac{2\sqrt{3}\,H}{a}$$; $$\cos\angle DFC=\frac{6H^2-a^2}{12H^2+a^2}$$.