Упр.253 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Основанием пирамиды является равнобедренная трапеция с основаниями $$6\ \text{см}$$ и $$4\ \text{Тб}\ \text{см}$$ и высотой $$5\ \text{см}$$. Каждое боковое ребро пирамиды равно $$13\ \text{см}$$. Найдите её высоту.

Подробный ответ

Обозначим через $$O$$ центр окружности, описанной около основания пирамиды. Тогда $$KO$$ — высота пирамиды, а для её нахождения достаточно найти радиус $$R$$ этой окружности.

Основание пирамиды — равнобедренная трапеция с основаниями $$AB=4\sqrt{6}$$ и $$CD=6$$, высотой $$CH=5$$. Так как трапеция равнобедренная, то

$$BH=\frac{AB-CD}{2}=\frac{4\sqrt{6}-6}{2}=2\sqrt{6}-3,$$
$$AH=AB-BH=4\sqrt{6}-(2\sqrt{6}-3)=2\sqrt{6}+3.$$

По теореме Пифагора из прямоугольных треугольников $$BCH$$ и $$ACH$$ найдём боковые стороны трапеции:

$$BC=\sqrt{BH^2+CH^2}=\sqrt{(2\sqrt{6}-3)^2+25} =\sqrt{58-12\sqrt{6}}=3\sqrt{6}-2,$$
$$AC=\sqrt{AH^2+CH^2}=\sqrt{(2\sqrt{6}+3)^2+25} =\sqrt{58+12\sqrt{6}}=3\sqrt{6}+2.$$

Теперь найдём радиус описанной окружности около треугольника $$ABC$$:

$$R=\frac{AB\cdot BC\cdot AC}{4S_{ABC}}.$$

Площадь треугольника $$ABC$$ равна

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot CH=\frac{1}{2}\cdot 4\sqrt{6}\cdot 5=10\sqrt{6}.$$

Тогда

$$R=\frac{4\sqrt{6}\cdot (3\sqrt{6}-2)\cdot (3\sqrt{6}+2)}{4\cdot 10\sqrt{6}} =\frac{4\sqrt{6}\cdot (54-4)}{40\sqrt{6}}=5.$$

В прямоугольном треугольнике $$KOA$$ имеем $$KA=13$$, поэтому

$$KO=\sqrt{KA^2-OA^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=12.$$

Ответ: $$12\text{ см}$$.