Упр.253 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Основанием пирамиды является равнобедренная трапеция с основаниями 6 см и 4 Тб см и высотой 5 см. Каждое боковое ребро пирамиды равно 13 см. Найдите ее высоту.

Обозначим через $$O$$ центр окружности, описанной около основания пирамиды. Тогда $$KO$$ — высота пирамиды, а точки $$A,B,C,D$$ лежат на одной окружности радиуса $$R$$.

Основание пирамиды — равнобедренная трапеция с основаниями $$AB=4\sqrt{6}$$ см и $$CD=6$$ см, высотой $$CH=5$$ см. Опустим из точки $$C$$ перпендикуляр $$CH$$ на $$AB$$. Тогда

$$BH=\frac{AB-CD}{2}=\frac{4\sqrt{6}-6}{2}=2\sqrt{6}-3,$$
$$AH=AB-BH=4\sqrt{6}-(2\sqrt{6}-3)=2\sqrt{6}+3.$$

Найдём боковые стороны трапеции по теореме Пифагора:

$$BC=\sqrt{BH^2+CH^2}=\sqrt{(2\sqrt{6}-3)^2+25}=\sqrt{58-12\sqrt{6}}=3\sqrt{6}-2,$$
$$CA=\sqrt{AH^2+CH^2}=\sqrt{(2\sqrt{6}+3)^2+25}=\sqrt{58+12\sqrt{6}}=3\sqrt{6}+2.$$

Теперь найдём радиус описанной окружности около треугольника $$ABC$$:

$$R=\frac{AB\cdot BC\cdot CA}{4S_{ABC}}.$$

Площадь треугольника $$ABC$$ равна

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot CH=\frac{1}{2}\cdot 4\sqrt{6}\cdot 5=10\sqrt{6}.$$

Тогда

$$ R=\frac{4\sqrt{6}\cdot (3\sqrt{6}-2)\cdot (3\sqrt{6}+2)}{4\cdot 10\sqrt{6}} =\frac{4\sqrt{6}\cdot (54-4)}{40\sqrt{6}} =\frac{200\sqrt{6}}{40\sqrt{6}}=5. $$

Так как боковые рёбра пирамиды равны $$13$$ см, то в прямоугольном треугольнике $$KOA$$ имеем

$$KO=\sqrt{KA^2-OA^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12.$$

Ответ

$$12\text{ см}$$