Упр.252 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Основанием пирамиды DABC является равнобедренный треугольник ABC, в котором стороны AB и AC равны, BC = 6 см, высота AH равна 9 см. Известно также, что DA = DB = DC = 13 см. Найдите высоту пирамиды.

Пусть $$O$$ — основание высоты пирамиды, тогда $$DO \perp (ABC)$$. Так как $$DA=DB=DC=13$$, то точка $$O$$ равноудалена от вершин $$A,B,C$$, значит, это центр описанной окружности треугольника $$ABC$$.

Треугольник $$ABC$$ равнобедренный, $$AB=AC$$, а высота $$AH$$, проведённая к основанию $$BC$$, является также медианой. Поэтому

$$BH=HC=\frac{BC}{2}=\frac{6}{2}=3.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AHC$$:

$$AC=\sqrt{AH^2+HC^2}=\sqrt{9^2+3^2}=\sqrt{90}=3\sqrt{10}.$$

Найдём площадь треугольника $$ABC$$ по формуле Герона. Его стороны:

$$BC=6,\quad AB=AC=3\sqrt{10}.$$

Полупериметр:

$$p=\frac{6+3\sqrt{10}+3\sqrt{10}}{2}=3+3\sqrt{10}.$$

Тогда

$$ S_{ABC}=\sqrt{p(p-BC)(p-AB)(p-AC)} =\sqrt{(3+3\sqrt{10})(3\sqrt{10}-3)\cdot 3\cdot 3} =27. $$

Для треугольника $$ABC$$ используем формулу

$$S_{ABC}=\frac{abc}{4R},$$

где $$R$$ — радиус описанной окружности. Тогда

$$ R=\frac{AB\cdot BC\cdot AC}{4S_{ABC}} =\frac{3\sqrt{10}\cdot 6\cdot 3\sqrt{10}}{4\cdot 27} =\frac{540}{108}=5. $$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$DOA$$:

$$DO=\sqrt{DA^2-OA^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12.$$

Ответ

$$12\text{ см}$$