Упр.252 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Основанием пирамиды $$DABC$$ является равнобедренный треугольник $$ABC$$, в котором стороны $$AB$$ и $$AC$$ равны, $$BC = 6\ см$$, высота $$AH$$ равна $$9\ см$$. Известно также, что $$DA = DB = DC = 13\ см$$. Найдите высоту пирамиды.
Так как в пирамиде $$DABC$$ все боковые рёбра равны: $$DA=DB=DC=13\text{ см},$$ то вершина $$D$$ равноудалена от точек $$A,B,C$$. Следовательно, проекция вершины $$D$$ на плоскость основания — это центр описанной окружности треугольника $$ABC$$, обозначим его $$O$$. Тогда $$DO$$ — искомая высота пирамиды.
Найдём радиус описанной окружности треугольника $$ABC$$.
Треугольник $$ABC$$ равнобедренный, $$AB=AC$$, а высота $$AH$$, проведённая к основанию $$BC$$, является также медианой. Поэтому
$$BH=HC=\frac{BC}{2}=\frac{6}{2}=3\text{ см}.$$
Из прямоугольного треугольника $$AHC$$ получаем:
$$AC=\sqrt{AH^2+HC^2}=\sqrt{9^2+3^2}=\sqrt{81+9}=\sqrt{90}=3\sqrt{10}\text{ см}.$$
Значит,
$$AB=AC=3\sqrt{10}\text{ см}.$$
Площадь треугольника $$ABC$$:
$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot AH=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 9=27\text{ см}^2.$$
По формуле для радиуса описанной окружности:
$$R=\frac{abc}{4S},$$
где $$a=BC=6,$$ $$b=CA=3\sqrt{10},$$ $$c=AB=3\sqrt{10}.$$ Тогда
$$R=\frac{6\cdot 3\sqrt{10}\cdot 3\sqrt{10}}{4\cdot 27} =\frac{6\cdot 90}{108}=5\text{ см}.$$
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$DOA$$:
$$DO=\sqrt{DA^2-OA^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12\text{ см}.$$
Ответ: $$12\text{ см}$$.
