Упр.250 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник с углом $$120^\circ$$. Боковые рёбра образуют с её высотой, равной $$16\ \text{см}$$, углы в $$45^\circ$$. Найдите площадь основания пирамиды.

Обозначим основание пирамиды через $$ABC$$, а её вершину — через $$D$$. Пусть $$O$$ — основание высоты $$DO$$, тогда $$DO \perp (ABC)$$ и $$DO=16$$ см.

Так как боковые рёбра образуют с высотой угол $$45^\circ$$, то в прямоугольных треугольниках $$DAO$$, $$DBO$$ и $$DCO$$ имеем:

$$\angle DAO=\angle DBO=\angle DCO=45^\circ.$$

Следовательно, каждый из этих треугольников равнобедренный прямоугольный, значит

$$OA=OB=OC=DO=16.$$

Точка $$O$$ — центр описанной окружности треугольника $$ABC$$, поэтому его радиус описанной окружности равен

$$R=16.$$

Треугольник $$ABC$$ равнобедренный, $$AB=BC$$, а $$\angle ABC=120^\circ$$. Обозначим $$AB=BC=x$$. Тогда по теореме косинусов:

$$AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cos120^\circ$$
$$AC^2=x^2+x^2-2x^2\cdot\left(-\frac12\right)=3x^2,$$
то есть
$$AC=x\sqrt3.$$

По теореме синусов для треугольника $$ABC$$:

$$\frac{AC}{\sin120^\circ}=2R.$$

Подставим $$AC=x\sqrt3$$ и $$R=16$$:

$$\frac{x\sqrt3}{\sin120^\circ}=32.$$
Так как $$\sin120^\circ=\frac{\sqrt3}{2}$$, получаем

$$\frac{x\sqrt3}{\sqrt3/2}=32 \quad \Rightarrow \quad 2x=32 \quad \Rightarrow \quad x=16.$$

Теперь найдём площадь основания:

$$S_{ABC}=\frac12\cdot AB\cdot BC\cdot \sin120^\circ =\frac12\cdot 16\cdot 16\cdot \frac{\sqrt3}{2} =64\sqrt3.$$

Ответ: $$64\sqrt3\ \text{см}^2$$.