Подготовка к ЕГЭ Задание 16 Упр.25 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Около треугольника $$\triangle ABC$$ описана окружность с центром $$O$$, угол $$AOC$$ равен $$60^\circ$$. В треугольник $$\triangle ABC$$ вписана окружность с центром $$M$$. Найдите угол $$AMC$$.

Так как $$\angle AOC$$ — центральный угол, а $$\angle ABC$$ — вписанный, опирающийся на ту же дугу $$AC$$, то

$$\angle ABC=\frac{\angle AOC}{2}=\frac{60^\circ}{2}=30^\circ.$$

Центр вписанной окружности $$M$$ лежит на биссектрисах углов треугольника, поэтому

$$\angle MAC=\frac{\angle A}{2}, \qquad \angle ACM=\frac{\angle C}{2}.$$

В треугольнике $$AMC$$ имеем

$$\angle AMC=180^\circ-\frac{\angle A+\angle C}{2}.$$

Но $$\angle A+\angle C=180^\circ-\angle B$$, значит

$$\angle AMC=180^\circ-\frac{180^\circ-\angle B}{2}.$$

Подставим $$\angle B=30^\circ$$:

$$\angle AMC=180^\circ-\frac{180^\circ-30^\circ}{2}=180^\circ-75^\circ=105^\circ.$$

Если же рассматривать другой возможный вариант расположения точек на рисунке, то получается

$$\angle AMC=180^\circ-\frac{180^\circ-150^\circ}{2}=165^\circ.$$

Ответ: $$105^\circ$$ или $$165^\circ$$.