Подготовка к ЕГЭ Задание 6 Упр.25 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 5, а основание равно 6. Найдите радиус вписанной в треугольник окружности.

Пусть $$\triangle ABC$$ — равнобедренный, где $$AB=6$$, $$AC=BC=5$$. Опустим высоту $$CH$$ на основание $$AB$$. Тогда в равнобедренном треугольнике $$H$$ — середина основания, значит

$$AH=\frac{1}{2}AB=3.$$

В прямоугольном треугольнике $$ACH$$:

$$\cos A=\frac{AH}{AC}=\frac{3}{5}=0{,}6.$$

Пусть $$O$$ — центр вписанной окружности. Тогда $$O$$ лежит на биссектрисе угла $$C$$, а значит, в равнобедренном треугольнике точка $$O$$ также лежит на высоте $$CH$$. Обозначим радиус вписанной окружности через $$r$$. Тогда $$OH=r$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$OAH$$. В нём

$$\tan \frac{A}{2}=\frac{OH}{AH}.$$

Используем формулу

$$\tan^2 \frac{A}{2}=\frac{1-\cos A}{1+\cos A}.$$

Подставим $$\cos A=0{,}6$$:

$$\tan^2 \frac{A}{2}=\frac{1-0{,}6}{1+0{,}6}=\frac{0{,}4}{1{,}6}=0{,}25,$$

значит

$$\tan \frac{A}{2}=0{,}5.$$

Тогда

$$OH=AH\cdot \tan \frac{A}{2}=3\cdot 0{,}5=1{,}5.$$

Следовательно, радиус вписанной окружности равен $$r=1{,}5$$.

Ответ

$$1{,}5$$