Подготовка к ЕГЭ Задание 6 Упр.25 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна $$5$$, а основание равно $$6$$. Найдите радиус вписанной в треугольник окружности.

Пусть $$ABC$$ — равнобедренный треугольник, где $$AC=BC=5$$, $$AB=6$$. Проведём высоту $$CH$$ к основанию $$AB$$. Тогда в равнобедренном треугольнике она является и медианой, значит

$$AH=\frac{AB}{2}=3.$$

В прямоугольном треугольнике $$ACH$$:

$$\cos A=\frac{AH}{AC}=\frac{3}{5}=0{,}6.$$

Пусть $$O$$ — центр вписанной окружности. Тогда $$O$$ лежит на биссектрисе угла $$C$$, а значит в прямоугольном треугольнике $$OAH$$

$$\angle OAH=\frac{A}{2}.$$

Найдём $$\tan \frac{A}{2}$$ по формуле

$$\tan^2\frac{A}{2}=\frac{1-\cos A}{1+\cos A}.$$

Подставим $$\cos A=0{,}6$$:

$$\tan^2\frac{A}{2}=\frac{1-0{,}6}{1+0{,}6}=\frac{0{,}4}{1{,}6}=0{,}25,$$

значит

$$\tan\frac{A}{2}=0{,}5.$$

В треугольнике $$OAH$$:

$$\tan\frac{A}{2}=\frac{OH}{AH},$$

откуда

$$OH=AH\cdot \tan\frac{A}{2}=3\cdot 0{,}5=1{,}5.$$

Так как $$OH$$ — радиус вписанной окружности, то

Ответ: $$1{,}5$$.