Упр.25 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Докажите, что если данная прямая параллельна прямой, по которой пересекаются две плоскости, и не лежит в этих плоскостях, то она параллельна этим плоскостям.

Подробный ответ

Пусть плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ пересекаются по прямой $$AB$$, то есть $$\alpha \cap \beta = AB$$. По условию $$l \parallel AB$$ и $$l \not\subset \alpha,\; l \not\subset \beta$$.

Рассмотрим плоскость, проходящую через прямую $$l$$ и прямую $$AB$$. Так как $$l \parallel AB$$, эти прямые лежат в одной плоскости.

Тогда в плоскости $$\alpha$$ прямая $$AB$$ параллельна прямой $$l$$, не лежащей в этой плоскости. По теореме о параллельности прямой и плоскости получаем:

$$l \parallel \alpha.$$

Аналогично, поскольку $$AB \subset \beta$$ и $$l \parallel AB$$, а $$l \not\subset \beta$$, имеем:

$$l \parallel \beta.$$

Следовательно, данная прямая параллельна обеим плоскостям.