Упр.249 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

В пирамиде все боковые рёбра равны между собой. Докажите, что:
а) высота пирамиды проходит через центр окружности, описанной около основания;
б) все боковые рёбра пирамиды составляют равные углы с плоскостью основания.

Пусть $$S$$ — вершина пирамиды, а $$A_1,A_2,\dots,A_n$$ — вершины основания. Обозначим через $$O$$ проекцию точки $$S$$ на плоскость основания, то есть $$SO$$ — высота пирамиды.

Так как все боковые рёбра равны, то

$$SA_1=SA_2=\dots=SA_n.$$

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$SA_1O,\,SA_2O,\dots,SA_nO$$. У них:

$$SA_1=SA_2=\dots=SA_n,$$

$$SO$$ — общий катет,

значит, эти треугольники равны по гипотенузе и катету. Отсюда

$$OA_1=OA_2=\dots=OA_n.$$

Следовательно, точка $$O$$ равноудалена от всех вершин основания, а значит, является центром окружности, описанной около основания. Поэтому высота пирамиды проходит через центр этой окружности.

Кроме того, из равенства тех же прямоугольных треугольников получаем равенство углов между боковыми рёбрами и плоскостью основания:

$$\angle SA_1O=\angle SA_2O=\dots=\angle SA_nO.$$

Но эти углы и есть углы между рёбрами $$SA_1,SA_2,\dots,SA_n$$ и плоскостью основания. Значит, все боковые рёбра пирамиды составляют с основанием равные углы.

Ответ: а) высота пирамиды проходит через центр окружности, описанной около основания; б) все боковые рёбра пирамиды составляют с плоскостью основания равные углы.