Упр.248 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Основанием пирамиды является треугольник со сторонами $$12\ \text{см}$$, $$10\ \text{см}$$ и $$10\ \text{см}$$. Каждая боковая грань пирамиды наклонена к основанию под углом $$45^\circ$$. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Подробный ответ

Пусть $$O$$ — проекция вершины пирамиды на основание, а $$r$$ — радиус вписанной окружности треугольника основания.

Так как все боковые грани наклонены к основанию под углом $$45^\circ$$, то в каждой боковой грани высота к соответствующей стороне основания образует с плоскостью основания угол $$45^\circ$$. Следовательно, для этой высоты

$$\tan 45^\circ=\frac{DO}{r},$$

откуда $$DO=r.$$

Найдём $$r$$ через площадь основания. Основание — треугольник со сторонами $$12$$ см, $$10$$ см и $$10$$ см.

По формуле Герона:

$$p=\frac{12+10+10}{2}=16,$$
$$S_{\triangle ABC}=\sqrt{p(p-12)(p-10)(p-10)} =\sqrt{16\cdot 4\cdot 6\cdot 6}=48\text{ см}^2.$$

Для треугольника основания

$$S_{\triangle ABC}=pr,$$

значит

$$48=16r,\qquad r=3\text{ см}.$$

Тогда $$DO=3\text{ см}.$$

Высота каждой боковой грани к стороне основания равна

$$l=\frac{DO}{\sin 45^\circ} =\frac{3}{\frac{\sqrt2}{2}} =3\sqrt2\text{ см}.$$