Упр.248 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Основанием пирамиды является треугольник со сторонами 12 см, 10 см и 10 см. Каждая боковая грань пирамиды наклонена к основанию под углом 45°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Подробный ответ

Пусть $$O$$ — основание высоты пирамиды, а $$r$$ — радиус вписанной окружности в основание $$ABC$$. Тогда в каждой боковой грани высота к стороне основания образует с плоскостью основания угол $$45^\circ$$.

Найдём площадь основания по формуле Герона:

$$ p=\frac{12+10+10}{2}=16 $$
$$ S_{ABC}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{16\cdot 4\cdot 6\cdot 6}=48\ \text{см}^2 $$

Так как $$S_{ABC}=pr$$, получаем:

$$ 48=16r \Rightarrow r=3\ \text{см} $$

Рассмотрим сечение, перпендикулярное стороне основания и проходящее через вершину пирамиды. В этом сечении получаем прямоугольный треугольник, в котором

$$ \tan 45^\circ=\frac{DO}{r} $$

Следовательно,

$$ DO=r=3\ \text{см} $$

Высота боковой грани к любой стороне основания равна

$$ l=\sqrt{DO^2+r^2}=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}\ \text{см} $$

Площадь боковой поверхности пирамиды равна произведению полупериметра основания на эту высоту:

$$ S_{\text{бок}}=pl=16\cdot 3\sqrt{2}=48\sqrt{2}\ \text{см}^2 $$