Упр.247 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Двугранные углы при основании пирамиды равны. Докажите, что: а) высота пирамиды проходит через центр окружности, вписанной в основание пирамиды; б) высоты всех боковых граней, проведённые из вершины пирамиды, равны; в) площадь боковой поверхности пирамиды равна половине произведения периметра основания на высоту боковой грани, проведённую из вершины пирамиды.
Так как решение не зависит от числа вершин основания пирамиды, рассмотрим пирамиду с многоугольным основанием $$A_1A_2\dots A_n$$. Пусть $$SO$$ — высота пирамиды, а $$SB_1, SB_2, \dots, SB_n$$ — высоты боковых граней, проведённые из вершины $$S$$.
По теореме о трёх перпендикулярах имеем:
$$OB_1 \perp A_1A_2,\quad OB_2 \perp A_2A_3,\quad \dots,\quad OB_n \perp A_nA_1.$$
Рассмотрим прямоугольные треугольники $$\triangle SOB_1$$, $$\triangle SOB_2$$, $$\dots$$, $$\triangle SOB_n$$. У них общий катет $$SO$$, а углы при вершине $$O$$ равны, так как двугранные углы при основании пирамиды равны. Значит, эти треугольники равны, и потому
$$OB_1=OB_2=\dots=OB_n.$$
Следовательно, точка $$O$$ равноудалена от всех сторон основания, то есть является центром окружности, вписанной в основание пирамиды. Это доказывает пункт а).
Из равенства тех же прямоугольных треугольников получаем:
$$SB_1=SB_2=\dots=SB_n.$$
Значит, высоты всех боковых граней, проведённые из вершины пирамиды, равны. Это доказывает пункт б).
Теперь найдём площадь боковой поверхности. Она равна сумме площадей боковых граней:
$$S_{\text{бок}}=\sum_{i=1}^{n} S_{SA_iA_{i+1}} =\sum_{i=1}^{n}\frac12 \cdot A_iA_{i+1}\cdot SB_i.$$
Так как все высоты боковых граней равны, то
$$S_{\text{бок}}=\frac12 \, SB_1\left(A_1A_2+A_2A_3+\dots+A_nA_1\right).$$
Сумма в скобках — это периметр основания $$P$$, поэтому
$$S_{\text{бок}}=\frac12 P\cdot h_{\text{грани}},$$
где $$h_{\text{грани}}$$ — высота боковой грани, проведённая из вершины пирамиды. Это доказывает пункт в).
Ответ: а) высота пирамиды проходит через центр вписанной окружности основания; б) высоты всех боковых граней, проведённые из вершины пирамиды, равны; в) $$S_{\text{бок}}=\frac12 P\cdot h_{\text{грани}}$$.
