Упр.246 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Высота треугольной пирамиды равна $$40\text{ см}$$, а высота каждой боковой грани, проведённая из вершины пирамиды, равна $$41\text{ см}$$. а) Докажите, что высота пирамиды проходит через центр окружности, вписанной в её основание; б) найдите площадь основания пирамиды, если его периметр равен $$42\text{ см}$$.
Рассмотрим точки $$E,\ F,\ G$$ — основания перпендикуляров, опущенных из вершины $$D$$ на стороны основания $$BC,\ AB,\ AC$$ соответственно. Тогда $$DE=DF=DG=41$$ см, а $$DO=40$$ см.
Рассмотрим прямоугольные треугольники $$\triangle EOD$$, $$\triangle FOD$$ и $$\triangle GOD$$. У них общий катет $$DO$$ и равные гипотенузы $$DE=DF=DG$$, значит, эти треугольники равны по гипотенузе и катету. Отсюда
$$EO=FO=GO.$$
По теореме о трёх перпендикулярах из равенств $$EO=FO=GO$$ следует, что
$$EO\perp BC,\quad FO\perp AB,\quad GO\perp AC.$$
Значит, точка $$O$$ равноудалена от всех сторон треугольника $$ABC$$, то есть является центром окружности, вписанной в основание пирамиды. Это и требовалось доказать.
Найдём радиус вписанной окружности основания. В прямоугольном треугольнике $$EOD$$ по теореме Пифагора:
$$EO=\sqrt{DE^2-DO^2}=\sqrt{41^2-40^2}=\sqrt{1681-1600}=\sqrt{81}=9\text{ см}.$$
Так как $$O$$ — центр вписанной окружности треугольника $$ABC$$, то $$EO=r$$, где $$r$$ — радиус вписанной окружности. Периметр основания равен $$42$$ см, значит, полупериметр
$$p=\frac{42}{2}=21\text{ см}.$$
Площадь треугольника выражается формулой
$$S_{ABC}=pr=21\cdot 9=189\text{ см}^2.$$
Ответ: $$189\text{ см}^2$$.
