Упр.246 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Высота треугольной пирамиды равна 40 см, а высота каждой боковой грани, проведенная из вершины пирамиды, равна 41 см. а) Докажите, что высота пирамиды проходит через центр окружности, вписанной в ее основание, б) Найдите площадь основания пирамиды, если его периметр равен 42 см.

Подробный ответ

Обозначим через $$O$$ основание высоты пирамиды, а через $$E, F, G$$ — основания перпендикуляров, опущенных из точки $$O$$ на стороны $$BC, AB, AC$$ соответственно.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$\triangle EOD$$, $$\triangle FOD$$ и $$\triangle GOD$$. У них общий гипотенуза $$DO$$ и равные катеты:

$$DE=DF=DG=41\text{ см}, \quad DO=40\text{ см}.$$

Следовательно,

$$EO=FO=GO.$$

По теореме о трёх перпендикулярах имеем:

$$EO\perp BC,\quad FO\perp AB,\quad GO\perp AC.$$

Значит, точка $$O$$ равноудалена от всех сторон треугольника $$ABC$$, то есть является центром окружности, вписанной в основание. Это и требовалось доказать.

Найдём радиус вписанной окружности. Из прямоугольного треугольника $$EOD$$ по теореме Пифагора:

$$ EO=\sqrt{DE^2-DO^2}=\sqrt{41^2-40^2}=\sqrt{1681-1600}=\sqrt{81}=9\text{ см}. $$

Так как $$O$$ — центр вписанной окружности, то $$EO=r$$, где $$r$$ — радиус вписанной окружности треугольника $$ABC$$.

Периметр основания равен $$42\text{ см}$$, значит полупериметр:

$$p=\frac{42}{2}=21\text{ см}.$$

Площадь треугольника выражается формулой:

$$S_{ABC}=pr.$$

Тогда

$$S_{ABC}=21\cdot 9=189\text{ см}^2.$$