Упр.245 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Основанием пирамиды является прямоугольник, диагональ которого равна 8 см. Плоскости двух боковых граней перпендикулярны к плоскости основания, а две другие боковые грани образуют с основанием углы в 30° и 45°. Найдите площадь поверхности пирамиды.

Пусть $$AB=x,$$ $$BC=y.$$ Так как две боковые грани перпендикулярны к плоскости основания, то высота пирамиды $$BK$$ перпендикулярна основанию, а углы $$\angle KAB$$ и $$\angle KCB$$ являются линейными углами двугранных углов при рёбрах $$AB$$ и $$BC$$.

Тогда в прямоугольных треугольниках $$KAB$$ и $$KCB$$ имеем:

$$\tan \angle KAB=\frac{BK}{AB}=\tan 30^\circ=\frac{1}{\sqrt{3}},$$
$$\tan \angle KCB=\frac{BK}{BC}=\tan 45^\circ=1.$$

Следовательно,

$$BK=\frac{x}{\sqrt{3}}, \qquad BK=y,$$

откуда

$$x=\sqrt{3}\,y.$$

Основание пирамиды — прямоугольник, его диагональ равна $$8$$ см, значит

$$x^2+y^2=8^2=64.$$

Подставим $$x=\sqrt{3}\,y$$:

$$ (\sqrt{3}\,y)^2+y^2=64 \\ 3y^2+y^2=64 \\ 4y^2=64 \\ y=4. $$

Тогда

$$x=4\sqrt{3}, \qquad BK=4.$$

Найдём боковые рёбра:

$$AK=\sqrt{AB^2+BK^2}=\sqrt{(4\sqrt{3})^2+4^2}=\sqrt{48+16}=8,$$

$$KC=\sqrt{BC^2+BK^2}=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}.$$

Площади боковых граней:

$$S_{KAB}=\frac{1}{2}\cdot AB \cdot BK=\frac{1}{2}\cdot 4\sqrt{3}\cdot 4=8\sqrt{3},$$

$$S_{KBC}=\frac{1}{2}\cdot BC \cdot BK=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 4=8,$$

$$S_{KCD}=\frac{1}{2}\cdot CD \cdot BK=\frac{1}{2}\cdot 4\sqrt{3}\cdot 4=8\sqrt{3},$$

$$S_{KDA}=\frac{1}{2}\cdot AD \cdot BK=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 4=8.$$

Площадь основания:

$$S_{ABCD}=AB\cdot BC=4\sqrt{3}\cdot 4=16\sqrt{3}.$$

Тогда площадь поверхности пирамиды равна

$$ S_{\text{полн}}=S_{KAB}+S_{KBC}+S_{KCD}+S_{KDA}+S_{ABCD} $$
$$ =8\sqrt{3}+8+8\sqrt{3}+8+16\sqrt{3} =24+32\sqrt{3}. $$

Ответ

$$24+32\sqrt{3}\ \text{см}^2$$