Упр.245 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Основанием пирамиды является прямоугольник, диагональ которого равна $$8\ \text{см}$$. Плоскости двух боковых граней перпендикулярны к плоскости основания, а две другие боковые грани образуют с основанием углы в $$30^\circ$$ и $$45^\circ$$. Найдите площадь поверхности пирамиды.

Подробный ответ

Пусть $$AB=x,$$ $$BC=y.$$ Так как две боковые грани пирамиды перпендикулярны плоскости основания, то их линейные углы двугранных углов при рёбрах $$AB$$ и $$BC$$ равны соответственно $$30^\circ$$ и $$45^\circ$$. Тогда

$$BK=AB\tan 30^\circ=\frac{x}{\sqrt3},$$
$$BK=BC\tan 45^\circ=y.$$

Следовательно, $$y=\frac{x}{\sqrt3}$$, то есть $$x=\sqrt3\,y.$$

Диагональ прямоугольника $$BD=8$$ см, значит

$$BD^2=AB^2+BC^2,$$
$$64=x^2+y^2=(\sqrt3\,y)^2+y^2=3y^2+y^2=4y^2.$$

Отсюда $$y=4$$ см, $$x=4\sqrt3$$ см.

Найдём высоту пирамиды. В прямоугольном треугольнике $$ABK$$:

$$AK=\sqrt{AB^2+BK^2}=\sqrt{(4\sqrt3)^2+4^2}=\sqrt{48+16}=8\text{ см}.$$

В прямоугольном треугольнике $$KCB$$:

$$KC=\sqrt{BC^2+BK^2}=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt2\text{ см}.$$

Площадь поверхности пирамиды равна сумме площади основания и площадей четырёх боковых граней:

$$S_{\text{полн}}=S_{ABK}+S_{BKC}+S_{CKD}+S_{DKA}+S_{ABCD}.$$

Вычислим каждую площадь:

$$S_{ABK}=\frac12\cdot AB\cdot BK=\frac12\cdot 4\sqrt3\cdot 4=8\sqrt3,$$
$$S_{BKC}=\frac12\cdot BC\cdot BK=\frac12\cdot 4\cdot 4=8,$$
$$S_{CKD}=\frac12\cdot CD\cdot KC=\frac12\cdot 4\sqrt3\cdot 4\sqrt2=8\sqrt6,$$
$$S_{DKA}=\frac12\cdot AD\cdot AK=\frac12\cdot 4\cdot 8=16.$$

Площадь основания:

$$S_{ABCD}=AB\cdot BC=4\sqrt3\cdot 4=16\sqrt3.$$

Тогда

$$S_{\text{полн}}=8\sqrt3+8+8\sqrt6+16+16\sqrt3=24+24\sqrt3+8\sqrt6.$$