Упр.244 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Основанием пирамиды DABC является прямоугольный треугольник ABC, у которого гипотенуза AB равна 29 см, а катетАС равен 21 см. Боковое ребро DA перпендикулярно к плоскости основания и равно 20 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Подробный ответ

Так как $$DA \perp (ABC)$$, то отрезок $$DA$$ перпендикулярен любой прямой плоскости основания, проходящей через точку $$A$$. Поэтому треугольники $$ABD$$ и $$ACD$$ прямоугольные при $$A$$.

Найдём сначала второй катет основания $$BC$$ по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $$ABC$$:

$$ BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{29^2-21^2}=\sqrt{841-441}=\sqrt{400}=20\text{ см}. $$

Теперь найдём боковые рёбра $$BD$$ и $$CD$$:

$$ BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{29^2+20^2}=\sqrt{841+400}=\sqrt{1241}, $$

$$ CD=\sqrt{AC^2+AD^2}=\sqrt{21^2+20^2}=\sqrt{441+400}=\sqrt{841}=29\text{ см}. $$

Площади боковых граней:

$$ S_{ABD}=\frac12\cdot AD\cdot AB=\frac12\cdot 20\cdot 29=290\text{ см}^2, $$

$$ S_{ACD}=\frac12\cdot AD\cdot AC=\frac12\cdot 20\cdot 21=210\text{ см}^2, $$

$$ S_{BCD}=\frac12\cdot BC\cdot CD=\frac12\cdot 20\cdot 29=290\text{ см}^2. $$

Тогда площадь боковой поверхности пирамиды равна

$$ S_{\text{бок}}=S_{ABD}+S_{ACD}+S_{BCD}=290+210+290=790\text{ см}^2. $$