Упр.244 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Основанием пирамиды $$DABC$$ является прямоугольный треугольник $$ABC$$, у которого гипотенуза $$AB$$ равна $$29\text{ см}$$, а катет $$AC$$ равен $$21\text{ см}$$. Боковое ребро $$DA$$ перпендикулярно к плоскости основания и равно $$20\text{ см}$$. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Подробный ответ

Так как $$DA \perp (ABC)$$, то отрезок $$DA$$ перпендикулярен любой прямой плоскости основания, проходящей через точку $$A$$. Поэтому треугольники $$ABD$$ и $$ACD$$ прямоугольные.

Найдём сначала второй катет основания $$BC$$ по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $$ABC$$:

$$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{29^2-21^2}=\sqrt{841-441}=\sqrt{400}=20\text{ см}.$$

Теперь найдём диагональ $$CD$$ в прямоугольном треугольнике $$ACD$$:

$$CD=\sqrt{AC^2+AD^2}=\sqrt{21^2+20^2}=\sqrt{441+400}=\sqrt{841}=29\text{ см}.$$

Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей трёх боковых граней:

$$S_{\text{бок}}=S_{ABD}+S_{ACD}+S_{BCD}.$$

Вычислим их:

$$S_{ABD}=\frac{1}{2}\cdot AD\cdot AB=\frac{1}{2}\cdot 20\cdot 29=290\text{ см}^2,$$

$$S_{ACD}=\frac{1}{2}\cdot AD\cdot AC=\frac{1}{2}\cdot 20\cdot 21=210\text{ см}^2,$$

$$S_{BCD}=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot CD=\frac{1}{2}\cdot 20\cdot 29=290\text{ см}^2.$$

Тогда

$$S_{\text{бок}}=290+210+290=790\text{ см}^2.$$