Упр.243 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Основанием пирамиды DABC является треугольник ABC, у которого АВ=АС = 13см, ВС=10см; ребро AD перпендикулярно к плоскости основания и равно 9 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Подробный ответ

Боковая поверхность пирамиды $$DABC$$ состоит из трёх треугольников: $$\triangle ABD$$, $$\triangle ACD$$ и $$\triangle BCD$$.

Так как $$AD \perp (ABC)$$, то треугольники $$ABD$$ и $$ACD$$ прямоугольные при $$A$$.

Найдём их площади:

$$S_{ABD}=\frac{1}{2}\cdot AB \cdot AD=\frac{1}{2}\cdot 13 \cdot 9=\frac{117}{2}\ \text{см}^2,$$

$$S_{ACD}=\frac{1}{2}\cdot AC \cdot AD=\frac{1}{2}\cdot 13 \cdot 9=\frac{117}{2}\ \text{см}^2.$$

Теперь найдём сторону $$BD$$ и $$CD$$ по теореме Пифагора:

$$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{13^2+9^2}=\sqrt{169+81}=\sqrt{250}=5\sqrt{10}\ \text{см},$$

$$CD=\sqrt{AC^2+AD^2}=\sqrt{13^2+9^2}=\sqrt{250}=5\sqrt{10}\ \text{см}.$$

Треугольник $$BCD$$ равнобедренный, так как $$BD=CD$$, а $$BC=10$$. Найдём его площадь по формуле Герона.

$$p=\frac{BD+CD+BC}{2}=\frac{5\sqrt{10}+5\sqrt{10}+10}{2}=5\sqrt{10}+5.$$

$$S_{BCD}=\sqrt{p(p-BD)(p-CD)(p-BC)}$$

$$=\sqrt{(5\sqrt{10}+5)\cdot 5\cdot 5\cdot (5\sqrt{10}-5)}$$

$$=\sqrt{25\bigl((5\sqrt{10})^2-5^2\bigr)}=\sqrt{25(250-25)}=\sqrt{5625}=75\ \text{см}^2.$$

Тогда площадь боковой поверхности пирамиды равна:

$$S_{\text{бок}}=S_{ABD}+S_{ACD}+S_{BCD}=\frac{117}{2}+\frac{117}{2}+75=192\ \text{см}^2.$$