Упр.243 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Основанием пирамиды $$DABC$$ является треугольник $$ABC$$, у которого $$AB=AC=13\text{ см}$$, $$BC=10\text{ см}$$; ребро $$AD$$ перпендикулярно к плоскости основания и равно $$9\text{ см}$$. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Подробный ответ

Так как $$AD \perp (ABC),$$ то треугольники $$ABD$$ и $$ACD$$ прямоугольные.

Найдём их гипотенузы по теореме Пифагора:

$$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{13^2+9^2}=\sqrt{169+81}=\sqrt{250}=5\sqrt{10},$$

$$CD=\sqrt{AC^2+AD^2}=\sqrt{13^2+9^2}=\sqrt{250}=5\sqrt{10}.$$

Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей трёх боковых граней:

$$S_{\text{бок}}=S_{ABD}+S_{ACD}+S_{BCD}.$$

Площади двух граней найдём как площади прямоугольных треугольников:

$$S_{ABD}=\frac12\cdot AB\cdot AD=\frac12\cdot 13\cdot 9=\frac{117}{2},$$

$$S_{ACD}=\frac12\cdot AC\cdot AD=\frac12\cdot 13\cdot 9=\frac{117}{2}.$$

Теперь найдём площадь треугольника $$BCD.$$ Его стороны:

$$BC=10,\quad BD=CD=5\sqrt{10}.$$

По формуле Герона:

$$p=\frac{BC+BD+CD}{2}=\frac{10+5\sqrt{10}+5\sqrt{10}}{2}=5+5\sqrt{10},$$