Упр.242 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Основанием пирамиды является квадрат, одно из боковых рёбер перпендикулярно к плоскости основания. Плоскость боковой грани, не проходящей через высоту пирамиды, наклонена к плоскости основания под углом $$45^\circ$$. Наибольшее боковое ребро равно $$12\text{ см}$$. Найдите: а) высоту пирамиды; б) площадь боковой поверхности пирамиды.

Подробный ответ

Обозначим сторону квадрата основания через $$a$$. Тогда $$AB=BC=a,$$ а диагональ основания

$$BD=a\sqrt{2}.$$

Так как одно из боковых рёбер перпендикулярно плоскости основания, то $$BK$$ — высота пирамиды. Плоскость боковой грани, не проходящей через высоту, образует с плоскостью основания угол $$45^\circ$$, значит в соответствующем линейном угле

$$\angle KAB=45^\circ.$$

В прямоугольном треугольнике $$KAB$$ имеем

$$\tan \angle KAB=\frac{BK}{AB}.$$

Так как $$\tan 45^\circ=1,$$ то

$$BK=AB=a.$$

Наибольшее боковое ребро — это $$KD$$, поэтому $$KD=12$$ см. Рассмотрим прямоугольный треугольник $$KBD$$:

$$KD^2=BK^2+BD^2.$$

Подставим найденные выражения:

$$12^2=a^2+(a\sqrt{2})^2=a^2+2a^2=3a^2.$$

Отсюда

$$a^2=48,\qquad a=4\sqrt{3}.$$

Следовательно, высота пирамиды

$$BK=4\sqrt{3}\text{ см}.$$

Теперь найдём площадь боковой поверхности. Боковые грани $$ABK$$ и $$BCK$$ — прямоугольные треугольники с катетами $$a$$ и $$a$$, поэтому

$$S_{ABK}=S_{BCK}=\frac{1}{2}a^2.$$

Грани $$CDK$$ и $$DAK$$ имеют основания $$CD=DA=a$$ и высоту, равную $$\frac{a\sqrt{2}}{2}$$, так как расстояние от точки $$K$$ до прямых $$CD$$ и $$DA$$ в соответствующих гранях равно половине диагонали квадрата. Поэтому

$$S_{CDK}=S_{DAK}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot \frac{a\sqrt{2}}{2}=\frac{a^2\sqrt{2}}{4}.$$

Тогда

$$S_{\text{бок}}=2\cdot \frac{1}{2}a^2+2\cdot \frac{a^2\sqrt{2}}{4} =a^2\left(1+\frac{\sqrt{2}}{2}\right).$$

Подставим $$a^2=48$$:

$$S_{\text{бок}}=48\left(1+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=48+24\sqrt{2}\text{ см}^2.$$

Ответ: $$BK=4\sqrt{3}\text{ см},\quad S_{\text{бок}}=48+24\sqrt{2}\text{ см}^2.$$