Упр.241 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Основанием пирамиды является параллелограмм со сторонами 5 м и 4 м и меньшей диагональю 3 м. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 2 м. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

Подробный ответ

Основание пирамиды — параллелограмм $$ABCD$$, поэтому его диагонали пересекаются и делятся пополам. Обозначим точку пересечения диагоналей через $$O$$. Тогда высота пирамиды $$KO$$, где $$KO=2$$ м.

Найдём площадь основания. В параллелограмме со сторонами $$5$$ м и $$4$$ м и меньшей диагональю $$3$$ м рассмотрим треугольник $$BCD$$. По теореме косинусов:

$$BD^2=BC^2+CD^2-2\cdot BC\cdot CD\cos\angle BCD$$
$$3^2=4^2+5^2-2\cdot 4\cdot 5\cos\angle BCD$$
$$9=41-40\cos\angle BCD$$
$$\cos\angle BCD=\frac{32}{40}=\frac45$$

Тогда

$$S_{ABCD}=BC\cdot CD\sin\angle BCD=4\cdot 5\cdot \sqrt{1-\left(\frac45\right)^2}=20\cdot \frac35=12\ \text{м}^2.$$

Теперь найдём площади боковых граней. Так как высота пирамиды проходит через точку $$O$$, то для каждой боковой грани удобно найти её высоту через прямоугольные треугольники.

Пусть $$H$$ — основание перпендикуляра из $$K$$ на сторону $$BC$$. Тогда в прямоугольном треугольнике $$KOH$$:

$$OH=\frac{S_{OBC}}{BC}$$

Но треугольник $$OBC$$ имеет площадь, равную четверти площади параллелограмма:

$$S_{OBC}=\frac14 S_{ABCD}=\frac14\cdot 12=3\ \text{м}^2.$$

Значит,

$$3=\frac12\cdot BC\cdot OH=\frac12\cdot 4\cdot OH,$$
$$OH=1{,}5\ \text{м}.$$

Тогда

$$KH=\sqrt{KO^2+OH^2}=\sqrt{2^2+1{,}5^2}=\sqrt{4+2{,}25}=2{,}5\ \text{м}.$$

Следовательно, площадь грани $$KBC$$ равна

$$S_{KBC}=\frac12\cdot BC\cdot KH=\frac12\cdot 4\cdot 2{,}5=5\ \text{м}^2.$$

Аналогично получаем $$S_{KAD}=5\ \text{м}^2$$.

Теперь найдём площадь граней $$KAB$$ и $$KCD$$. Для этого рассмотрим сторону $$AB=5$$ м. Площадь треугольника $$AOB$$ равна четверти площади основания:

$$S_{AOB}=\frac14 S_{ABCD}=3\ \text{м}^2.$$

Пусть $$M$$ — основание перпендикуляра из $$K$$ на $$AB$$. Тогда

$$3=\frac12\cdot AB\cdot OM=\frac12\cdot 5\cdot OM,$$
$$OM=\frac65\ \text{м}.$$

В прямоугольном треугольнике $$KOM$$:

$$KM=\sqrt{KO^2+OM^2}=\sqrt{2^2+\left(\frac65\right)^2} =\sqrt{4+\frac{36}{25}}=\sqrt{\frac{136}{25}}=\frac{2\sqrt{34}}{5}.$$

Тогда

$$S_{KAB}=\frac12\cdot AB\cdot KM=\frac12\cdot 5\cdot \frac{2\sqrt{34}}{5}=\sqrt{34}\ \text{м}^2.$$

А значит, $$S_{KCD}=\sqrt{34}\ \text{м}^2$$.

Полная площадь поверхности пирамиды:

$$S_{\text{полн}}=S_{ABCD}+S_{KBC}+S_{KAD}+S_{KAB}+S_{KCD}$$
$$S_{\text{полн}}=12+5+5+\sqrt{34}+\sqrt{34}=22+2\sqrt{34}\ \text{м}^2.$$

Ответ: $$22+2\sqrt{34}\ \text{м}^2$$.