Упр.241 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Основанием пирамиды является параллелограмм со сторонами 5 м и 4 м и меньшей диагональю 3 м. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 2 м. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
Основание пирамиды — параллелограмм $$ABCD$$, причём $$AB=5$$ м, $$BC=4$$ м, меньшая диагональ $$BD=3$$ м. Высота пирамиды $$OK=2$$ м, точка $$O$$ — точка пересечения диагоналей основания.
Найдём площадь основания. В треугольнике $$CBD$$ по теореме Пифагора:
$$BC^2+BD^2=CD^2$$
Но удобнее сразу найти площадь параллелограмма через диагональ $$BD$$ и сторону $$BC$$. Так как $$O$$ — середина диагонали $$BD$$, то в прямоугольном треугольнике $$CBD$$:
$$S_{CBD}=\frac12\cdot BD\cdot BC=\frac12\cdot 3\cdot 4=6\text{ м}^2.$$
Диагональ $$BD$$ делит параллелограмм на два равных треугольника, значит
$$S_{ABCD}=2S_{CBD}=12\text{ м}^2.$$
Теперь найдём площади боковых граней. Рассмотрим грань $$KBC$$. В треугольнике $$OBC$$:
$$S_{OBC}=\frac12\cdot OB\cdot BC.$$
Так как $$O$$ — середина диагонали $$BD$$, то $$OB=\frac{BD}{2}=1{,}5$$ м, следовательно
$$S_{OBC}=\frac12\cdot 1{,}5\cdot 4=3\text{ м}^2.$$
Пусть $$OH\perp BC$$. Тогда в прямоугольном треугольнике $$OKH$$:
$$KH=\sqrt{OK^2+OH^2}.$$
Из площади треугольника $$OBC$$:
$$3=\frac12\cdot OH\cdot 4,$$
откуда
$$OH=1{,}5\text{ м}.$$
Тогда
$$KH=\sqrt{2^2+1{,}5^2}=\sqrt{4+2{,}25}=2{,}5\text{ м}.$$
По теореме о трёх перпендикулярах $$KH\perp BC$$, значит площадь грани $$KBC$$ равна
$$S_{KBC}=\frac12\cdot KH\cdot BC=\frac12\cdot 2{,}5\cdot 4=5\text{ м}^2.$$
Аналогично получаем для противоположной грани:
$$S_{KAD}=5\text{ м}^2.$$
Теперь найдём площадь грани $$KAB$$. Для треугольника $$AOB$$:
$$S_{AOB}=\frac12\cdot AO\cdot AB.$$
Так как диагонали параллелограмма делятся пополам, а площадь треугольника $$AOB$$ равна половине площади треугольника $$CBD$$, то
$$S_{AOB}=3\text{ м}^2.$$
Следовательно,
$$3=\frac12\cdot AO\cdot 5,$$
откуда
$$AO=1{,}2\text{ м}.$$
В прямоугольном треугольнике $$AOK$$:
$$AK=\sqrt{OK^2+AO^2}=\sqrt{2^2+1{,}2^2}=\sqrt{4+1{,}44}=\sqrt{5{,}44}.$$
Тогда площадь грани $$KAB$$:
$$S_{KAB}=\frac12\cdot AB\cdot AK=\frac12\cdot 5\cdot \sqrt{5{,}44}=\sqrt{34}\text{ м}^2.$$
Аналогично
$$S_{KCD}=\sqrt{34}\text{ м}^2.$$
Итак, полная поверхность пирамиды равна
$$S_{\text{полн}}=S_{ABCD}+S_{KAB}+S_{KBC}+S_{KCD}+S_{KAD}$$
$$=12+\sqrt{34}+5+\sqrt{34}+5=22+2\sqrt{34}\text{ м}^2.$$
Ответ
$$22+2\sqrt{34}\text{ м}^2$$