Упр.240 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Основанием пирамиды является параллелограмм, стороны которого равны $$20\text{ см}$$ и $$36\text{ см}$$, а площадь равна $$360\text{ см}^2$$. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна $$12\text{ см}$$. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
Площадь основания параллелограмма равна $$S_{ABCD}=360\text{ см}^2.$$ Тогда площадь каждого из четырёх треугольников, на которые диагонали делят параллелограмм, равна
$$S_{OBC}=\frac{S_{ABCD}}{4}=90\text{ см}^2.$$
В треугольнике $$OBC$$ высота $$OH$$, опущенная на сторону $$BC$$, равна
$$90=\frac{1}{2}\cdot OH\cdot BC=\frac{1}{2}\cdot OH\cdot 36,$$
откуда
$$OH=5\text{ см}.$$
Так как $$OK\perp ABCD,$$ то треугольник $$KOH$$ прямоугольный. По теореме Пифагора
$$KH=\sqrt{OK^2+OH^2}=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{169}=13\text{ см}.$$
По теореме о трёх перпендикулярах $$KH\perp BC,$$ значит площадь боковой грани $$KBC$$ равна
$$S_{KBC}=\frac{1}{2}\cdot KH\cdot BC=\frac{1}{2}\cdot 13\cdot 36=234\text{ см}^2.$$
Аналогично найдём площадь грани $$KAB$$. Для треугольника $$OAB$$ имеем
$$90=\frac{1}{2}\cdot h_{OAB}\cdot AB=\frac{1}{2}\cdot h_{OAB}\cdot 20,$$
откуда
$$h_{OAB}=9\text{ см}.$$
Тогда в прямоугольном треугольнике с катетами $$OK$$ и $$h_{OAB}$$ получаем
$$h_{AKB}=\sqrt{OK^2+h_{OAB}^2}=\sqrt{12^2+9^2}=\sqrt{225}=15\text{ см}.$$
Следовательно,
$$S_{KAB}=\frac{1}{2}\cdot h_{AKB}\cdot AB=\frac{1}{2}\cdot 15\cdot 20=150\text{ см}^2.$$
Так как противоположные стороны параллелограмма равны, то
$$S_{KCD}=S_{KAB}=150\text{ см}^2,$$
$$S_{KDA}=S_{KBC}=234\text{ см}^2.$$
Тогда площадь боковой поверхности пирамиды:
$$S_{\text{бок}}=S_{KAB}+S_{KBC}+S_{KCD}+S_{KDA}=150+234+150+234=768\text{ см}^2.$$
Ответ: $$768\text{ см}^2.$$
