Подготовка к ЕГЭ Задание 16 Упр.24 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Прямая касается окружностей радиусов $$R$$ и $$r$$ в точках $$A$$ и $$B$$. Известно, что расстояние между центрами окружностей равно $$a$$, причём $$r

Пусть $$O_1$$ и $$O_2$$ — центры окружностей, а $$P$$ — точка пересечения общей касательной с прямой $$O_1O_2$$. Тогда $$O_1P \perp AB$$ и $$O_2P \perp AB$$, значит, треугольник с катетами, равными радиусам, и гипотенузой $$a$$ можно рассмотреть в двух случаях.

1. Если касательная проходит между окружностями, то

   $$AP=O_1A-O_2B=R-r,$$

   а в прямоугольном треугольнике $$ABP$$ имеем

   $$AB=\sqrt{BP^2-AP^2}=\sqrt{a^2-(R-r)^2}.$$

2. Если касательная является внешней, то

   $$AP=O_1A+O_2B=R+r,$$

   и тогда

   $$AB=\sqrt{BP^2-AP^2}=\sqrt{a^2-(R+r)^2}.$$

Ответ: $$\sqrt{a^2-(R-r)^2}$$ или $$\sqrt{a^2-(R+r)^2}$$.