Подготовка к ЕГЭ Задание 16 Упр.24 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Прямая касается окружностей радиусов R и r в точках А и В. Известно, что расстояние между центрами окружностей равно a, причём r < R и r+R < a. Найдите АВ.

Обозначим через $$P$$ точку пересечения прямой касания с прямой, соединяющей центры окружностей. Тогда $$\triangle ABP$$ прямоугольный, так как радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны касательной.

Рассмотрим два возможных случая.

1) Окружности касаются прямой по одну сторону от точки $$P$$. Тогда

$$BP=a,\qquad AP=O_1A-O_2B=R-r.$$

По теореме Пифагора:

$$AB=\sqrt{BP^2-AP^2}=\sqrt{a^2-(R-r)^2}.$$

2) Окружности касаются прямой по разные стороны от точки $$P$$. Тогда

$$BP=a,\qquad AP=O_1A+O_2B=R+r.$$

По теореме Пифагора:

$$AB=\sqrt{BP^2-AP^2}=\sqrt{a^2-(R+r)^2}.$$

Ответ

$$\sqrt{a^2-(R-r)^2}$$ или $$\sqrt{a^2-(R+r)^2}$$.