Упр.239 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Основанием пирамиды является ромб, сторона которого равна 5 см, а одна из диагоналей равна 8 см. Найдите боковые ребра пирамиды, если высота ее проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 7 см.

Подробный ответ

Обозначим точку пересечения диагоналей ромба через $$O$$. Тогда $$OK \perp ABCD$$ и $$OK=7$$ см.

В ромбе диагонали взаимно перпендикулярны и делятся пополам, значит

$$AO=OC=\frac{AC}{2}=\frac{8}{2}=4\text{ см}.$$

Так как сторона ромба равна $$5$$ см, то в прямоугольном треугольнике $$AOB$$ по теореме Пифагора:

$$OB=\sqrt{AB^2-AO^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{25-16}=3\text{ см}.$$

Теперь найдём боковые рёбра пирамиды. Треугольники $$AOK$$, $$BOK$$, $$COK$$ и $$DOK$$ прямоугольные, поэтому:

$$AK=\sqrt{OK^2+AO^2}=\sqrt{7^2+4^2}=\sqrt{49+16}=\sqrt{65}\text{ см},$$

$$CK=\sqrt{OK^2+OC^2}=\sqrt{7^2+4^2}=\sqrt{65}\text{ см},$$

$$BK=\sqrt{OK^2+OB^2}=\sqrt{7^2+3^2}=\sqrt{49+9}=\sqrt{58}\text{ см},$$

$$DK=\sqrt{OK^2+OD^2}=\sqrt{7^2+3^2}=\sqrt{58}\text{ см}.$$

Следовательно, две боковые рёбра, соответствующие вершинам на диагонали $$AC$$, равны $$\sqrt{65}$$ см, а две другие — $$\sqrt{58}$$ см.