Упр.239 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Основанием пирамиды является ромб, сторона которого равна $$5\ \text{см}$$, а одна из диагоналей равна $$8\ \text{см}$$. Найдите боковые рёбра пирамиды, если высота её проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна $$7\ \text{см}$$.

Подробный ответ

Пусть $$ABCD$$ — основание пирамиды, $$O$$ — точка пересечения диагоналей ромба, $$K$$ — вершина пирамиды. Тогда $$OK \perp (ABCD)$$ и $$OK=7$$ см.

В ромбе диагонали взаимно перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Поэтому

$$AO=OC=\frac{AC}{2}=\frac{8}{2}=4\text{ см}.$$

Найдём вторую диагональ ромба. В прямоугольном треугольнике $$AOB$$:

$$AB^2=AO^2+OB^2,$$

откуда

$$OB=\sqrt{AB^2-AO^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{25-16}=3\text{ см}.$$

Теперь найдём боковые рёбра пирамиды. Треугольники $$AOK$$, $$BOK$$, $$COK$$ и $$DOK$$ прямоугольные, так как $$OK \perp (ABCD)$$.

Тогда

$$AK=\sqrt{AO^2+OK^2}=\sqrt{4^2+7^2}=\sqrt{16+49}=\sqrt{65}\text{ см},$$

$$BK=\sqrt{BO^2+OK^2}=\sqrt{3^2+7^2}=\sqrt{9+49}=\sqrt{58}\text{ см}.$$