Упр.238 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

В наклонной треугольной призме две боковые грани взаимно перпендикулярны, а их общее ребро, отстоящее от двух других боковых рёбер на $$12\ см$$ и $$35\ см$$, равно $$24\ см$$. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Рассмотрим боковые рёбра призмы $$AA_1,\;BB_1,\;CC_1.$$

Пусть через точку $$B_1$$ проведена плоскость, перпендикулярная ребру $$BB_1$$. Обозначим через $$A_2$$ и $$C_2$$ основания перпендикуляров, опущенных из $$B_2 \in BB_1$$ на прямые $$AA_1$$ и $$CC_1$$ соответственно. Тогда треугольник $$A_2B_2C_2$$ — прямоугольный, а его стороны равны расстояниям между соответствующими боковыми рёбрами призмы:

$$A_2B_2=12\text{ см},\qquad B_2C_2=35\text{ см}.$$

По теореме Пифагора находим третью сторону этого треугольника:

$$A_2C_2=\sqrt{A_2B_2^2+B_2C_2^2} =\sqrt{12^2+35^2} =\sqrt{144+1225} =\sqrt{1369}=37\text{ см}.$$

Площадь боковой поверхности наклонной призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения на длину бокового ребра:

$$S_{\text{бок}}=P\cdot BB_1.$$

Здесь

$$P=12+35+37=84\text{ см},\qquad BB_1=24\text{ см}.$$

Тогда

$$S_{\text{бок}}=84\cdot 24=2016\text{ см}^2.$$

Ответ: $$2016\text{ см}^2.$$