Упр.235 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник с острым углом $$\varphi$$. Через катет, противолежащий этому углу, и через противоположную этому катету вершину основания проведено сечение, составляющее угол $$\theta$$ с плоскостью основания. Найдите отношение площади боковой поверхности призмы к площади сечения.

Обозначим катеты основания прямоугольного треугольника $$ABC$$ через $$AC=x$$ и $$BC=y$$, а высоту призмы — через $$h$$. Тогда площадь боковой поверхности прямой призмы равна

$$S_{\text{бок}}=P_{ABC}\cdot h=(x+y+x)\,h=(2x+y)h.$$

Так как $$\angle ABC=\varphi$$ и $$\angle ACB=90^\circ-\varphi$$, то

$$\tan\varphi=\frac{AC}{BC}=\frac{x}{y}, \qquad y=\frac{x}{\tan\varphi}=x\cot\varphi.$$

Следовательно,

$$S_{\text{бок}}=(2x+x\cot\varphi)h=xh(2+\cot\varphi).$$

Пусть сечение проходит через катет $$AC$$ и вершину $$B_1$$. Тогда его площадь равна

$$S_{\text{сеч}}=\frac12\cdot AC\cdot h_{\text{сеч}}=\frac12\cdot x\cdot h_{\text{сеч}}.$$

Высота этого сечения к стороне $$AC$$ равна проекции бокового ребра на перпендикуляр к плоскости основания, поэтому

$$h_{\text{сеч}}=\frac{h}{\sin\theta},$$

где $$\theta$$ — угол между плоскостью сечения и плоскостью основания. Тогда

$$S_{\text{сеч}}=\frac{x h}{2\sin\theta}.$$

Итак,

$$\frac{S_{\text{бок}}}{S_{\text{сеч}}}=\frac{xh(2+\cot\varphi)}{xh/(2\sin\theta)}=2\sin\theta\,(2+\cot\varphi).$$

Так как $$\cot\varphi=\dfrac{\cos\varphi}{\sin\varphi}$$, окончательно получаем

$$\frac{S_{\text{бок}}}{S_{\text{сеч}}}=2\sin\theta\left(2+\frac{\cos\varphi}{\sin\varphi}\right).$$

Ответ

$$\frac{S_{\text{бок}}}{S_{\text{сеч}}}=2\sin\theta\left(2+\frac{\cos\varphi}{\sin\varphi}\right).$$