Упр.234 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник. Через середину гипотенузы перпендикулярно к ней проведена плоскость. Найдите площадь сечения, если катеты равны $$20\ \text{см}$$ и $$21\ \text{см}$$, а боковое ребро равно $$42\ \text{см}$$.

Обозначим через $$D$$ середину гипотенузы $$AC$$. Плоскость сечения проходит через точку $$D$$ перпендикулярно к $$AC$$, значит в основании она пересекает треугольник $$ABC$$ по отрезку, перпендикулярному $$AC$$.

Найдём гипотенузу $$AC$$ по теореме Пифагора:

$$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{21^2+20^2}=\sqrt{441+400}=\sqrt{841}=29.$$

Так как $$D$$ — середина гипотенузы прямоугольного треугольника, то

$$AD=DC=\frac{AC}{2}=\frac{29}{2}.$$

Пусть плоскость сечения пересекает ребро $$AB$$ в точке $$E$$. Тогда в треугольниках $$ABC$$ и $$ADE$$ углы при вершине $$A$$ равны, а углы при $$B$$ и $$E$$ — прямые, поэтому

$$\triangle ABC \sim \triangle ADE.$$

Из подобия получаем:

$$\frac{AB}{BC}=\frac{AD}{DE}.$$

Тогда

$$DE=\frac{AD\cdot BC}{AB}=\frac{\frac{29}{2}\cdot 20}{21}=\frac{290}{21}.$$

Сечение — прямоугольник $$DEE_1D_1$$, поэтому его площадь равна произведению его сторон:

$$S_{DEE_1D_1}=DE\cdot AA_1=\frac{290}{21}\cdot 42=580.$$

Ответ: $$580\ \text{см}^2$$.