Упр.234 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник. Через середину гипотенузы перпендикулярно к ней проведена плоскость. Найдите площадь сечения, если катеты равны 20 см и 21 см, а боковое ребро равно 42 см.

Подробный ответ

Основание призмы — прямоугольный треугольник $$ABC$$, где $$\angle B=90^\circ$$, $$AB=21$$ см, $$BC=20$$ см. Боковое ребро призмы равно $$AA_1=42$$ см.

Плоскость проходит через середину гипотенузы $$AC$$ и перпендикулярна ей. Обозначим точку пересечения этой плоскости с ребром $$AB$$ через $$E$$, а с верхним основанием — через $$E_1, D_1$$. Тогда сечение $$EE_1D_1D$$ — прямоугольник, и его площадь равна

$$S_{EE_1D_1D}=DE\cdot EE_1.$$

Так как $$EE_1$$ — боковое ребро призмы, то $$EE_1=AA_1=42$$ см.

Найдём $$DE$$.

По теореме Пифагора в треугольнике $$ABC$$:

$$ AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{21^2+20^2}=\sqrt{441+400}=29\text{ см}. $$

Точка $$D$$ — середина гипотенузы $$AC$$, значит

$$AD=\frac{AC}{2}=\frac{29}{2}\text{ см}.$$

Треугольники $$ABC$$ и $$ADE$$ подобны, так как $$\angle B=\angle E=90^\circ$$ и угол $$A$$ у них общий. Поэтому

$$\frac{AB}{BC}=\frac{AD}{DE}.$$

Отсюда

$$ DE=\frac{AD\cdot BC}{AB} =\frac{\frac{29}{2}\cdot 20}{21} =\frac{290}{21}\text{ см}. $$

Теперь найдём площадь сечения: