Упр.232 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Диагональ прямоугольного параллелепипеда, равная d, образует с плоскостью основания угол ф, а с одной из боковых граней — угол а. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда.

Подробный ответ

Обозначим рёбра прямоугольного параллелепипеда: $$AB=x,$$ $$AD=y,$$ $$AA_1=z.$$

Диагональ $$AC_1=d$$ образует с плоскостью основания угол $$\varphi,$$ значит её проекция на основание равна $$AC=d\cos\varphi,$$ а высота параллелепипеда

$$z=d\sin\varphi.$$

Угол между диагональю $$AC_1$$ и боковой гранью равен $$\alpha.$$ Тогда в прямоугольном треугольнике, соответствующем этой грани, получаем

$$x=d\sin\alpha.$$

Теперь найдём второе ребро основания. По теореме Пифагора для диагонали основания $$AC$$:

$$ AC^2=x^2+y^2 $$
$$ (d\cos\varphi)^2=(d\sin\alpha)^2+y^2 $$
$$ y^2=d^2\bigl(\cos^2\varphi-\sin^2\alpha\bigr) $$
$$ y=d\sqrt{\cos^2\varphi-\sin^2\alpha}. $$

Площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда равна произведению периметра основания на высоту:

$$ S_{\text{бок}}=2(x+y)z. $$

Подставим найденные значения:

$$ S_{\text{бок}}=2\Bigl(d\sin\alpha+d\sqrt{\cos^2\varphi-\sin^2\alpha}\Bigr)\cdot d\sin\varphi. $$

$$ S_{\text{бок}}=2d^2\sin\varphi\Bigl(\sin\alpha+\sqrt{\cos^2\varphi-\sin^2\alpha}\Bigr). $$