Упр.232 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Диагональ прямоугольного параллелепипеда, равная $$d$$, образует с плоскостью основания угол $$\varphi$$, а с одной из боковых граней — угол $$\alpha$$. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда.

Обозначим $$AB=x,$$ $$AD=y,$$ $$AA_1=z.$$ Тогда диагональ параллелепипеда $$AC_1=d.$$

Так как $$\angle CAC_1=\varphi,$$ то в прямоугольном треугольнике $$ACC_1$$ имеем

$$AC=d\cos\varphi,\qquad CC_1=d\sin\varphi.$$

Но $$AC^2=x^2+y^2,$$ значит

$$x^2+y^2=d^2\cos^2\varphi.$$

С другой стороны, в прямоугольном треугольнике $$AA_1C_1$$ угол между диагональю $$AC_1$$ и боковой гранью равен $$\alpha,$$ поэтому

$$AA_1=z=d\sin\alpha.$$

Из прямоугольного треугольника с гипотенузой $$AC_1=d$$ получаем

$$x^2+z^2=d^2\sin^2\varphi,$$

откуда

$$x^2=d^2\bigl(\sin^2\varphi-\sin^2\alpha\bigr),$$
$$x=d\sqrt{\sin^2\varphi-\sin^2\alpha}.$$

Тогда

$$y^2=d^2\cos^2\varphi-x^2=d^2\cos^2\varphi-d^2\bigl(\sin^2\varphi-\sin^2\alpha\bigr) =d^2\bigl(1-\sin^2\varphi-\sin^2\varphi+\sin^2\alpha\bigr),$$

то есть

$$y=d\sqrt{\cos^2\varphi-\sin^2\alpha}.$$

Площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда равна

$$S_{\text{бок}}=2(AB+AD)\cdot AA_1=2(x+y)z.$$

Подставляя найденные значения, получаем

$$S_{\text{бок}}=2d^2\sin\alpha\left(\sqrt{\sin^2\varphi-\sin^2\alpha}+\sqrt{\cos^2\varphi-\sin^2\alpha}\right).$$

Ответ: $$S_{\text{бок}}=2d^2\sin\alpha\left(\sqrt{\sin^2\varphi-\sin^2\alpha}+\sqrt{\cos^2\varphi-\sin^2\alpha}\right).$$