Упр.231 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Стороны основания прямого параллелепипеда равны $$8\text{ см}$$ и $$15\text{ см}$$ и образуют угол $$60^\circ$$. Меньшая из площадей диагональных сечений равна $$130\text{ см}^2$$. Найдите площадь поверхности параллелепипеда.

Подробный ответ

Рассмотрим основание прямого параллелепипеда — параллелограмм $$ABCD$$, где $$AB=15$$ см, $$AD=8$$ см, $$\angle BAD=60^\circ$$.

Найдём диагональ $$BD$$ по теореме косинусов:

$$BD^2=AB^2+AD^2-2\cdot AB\cdot AD\cdot \cos \angle BAD$$
$$BD^2=15^2+8^2-2\cdot 15\cdot 8\cdot \frac12=225+64-120=169,$$
$$BD=13\text{ см}.$$

Меньшее диагональное сечение прямого параллелепипеда — прямоугольник со сторонами $$BD$$ и высотой $$h$$. Тогда

$$BD\cdot h=130,$$
$$13h=130,\quad h=10\text{ см}.$$

Площадь поверхности прямого параллелепипеда равна сумме боковой поверхности и удвоенной площади основания:

$$S_{\text{полн}}=S_{\text{бок}}+2S_{\text{осн}}.$$

Боковая поверхность:

$$S_{\text{бок}}=P_{\text{осн}}\cdot h=2(AB+AD)\cdot h=2(15+8)\cdot 10=460.$$

Площадь основания:

$$S_{\text{осн}}=AB\cdot AD\cdot \sin 60^\circ=15\cdot 8\cdot \frac{\sqrt3}{2}=60\sqrt3.$$