Подготовка к ЕГЭ Задание 16 Упр.23 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
Точка $$O$$ — центр окружности радиуса $$2$$. На продолжении радиуса $$OM$$ за точку $$M$$ взята точка $$A$$. Через точку $$A$$ проведена прямая, касающаяся окружности в точке $$K$$. Известно, что $$\angle AOK=60^\circ$$. Найдите радиус окружности, вписанной в угол $$OAK$$ и касающейся данной окружности извне.
Так как $$AK$$ — касательная к окружности с центром $$O$$, то $$OK \perp AK$$. Следовательно, треугольник $$AOK$$ прямоугольный, и при $$\angle AOK=60^\circ$$ получаем
$$AK=\frac{OK}{\tg 60^\circ}=\frac{2}{\sqrt3}=\frac{2\sqrt3}{3}.$$
Тогда
$$\angle OAK=90^\circ-60^\circ=30^\circ.$$
Пусть окружность радиуса $$r$$, вписанная в угол $$OAK$$ и касающаяся данной окружности извне, имеет центр $$O_1$$ и касается стороны $$AK$$ в точке $$K_1$$. Тогда в прямоугольном треугольнике $$AO_1K_1$$
$$AK_1=\frac{O_1K_1}{\tg 30^\circ}=\frac{r}{1/\sqrt3}=r\sqrt3.$$
Так как окружности касаются извне, расстояние между их центрами равно сумме радиусов:
$$OO_1=2+r.$$
Кроме того, центры лежат на биссектрисе угла $$OAK$$, поэтому
$$OO_1^2=AK^2+(2-r)^2.$$
Из прямоугольного треугольника с катетами $$2-r$$ и $$2+r$$ получаем
$$KK_1^2=(2+r)^2-(2-r)^2=8r,$$
откуда
$$KK_1=2\sqrt{2r}.$$
С другой стороны,
$$KK_1=AK-AK_1=\frac{2\sqrt3}{3}-r\sqrt3.$$
Тогда
$$2\sqrt{2r}=\frac{2\sqrt3}{3}-r\sqrt3.$$
Обозначим $$x=\sqrt r$$. Тогда
$$2\sqrt2\,x=\frac{2\sqrt3}{3}-\sqrt3\,x^2.$$
После преобразований получаем квадратное уравнение
$$3\sqrt3\,x^2+6\sqrt2\,x-2\sqrt3=0.$$
Решая его, находим
$$x=\frac{-6\sqrt2\pm 12}{6\sqrt3},$$
откуда
$$r=x^2=2\pm \frac{4\sqrt2}{3}.$$
Ответ: $$2-\frac{4\sqrt2}{3}$$ или $$2+\frac{4\sqrt2}{3}$$.
