Подготовка к ЕГЭ Задание 6 Упр.23 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Найдите радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник со стороной $$\sqrt{3}$$.

В правильном шестиугольнике центральный угол равен $$120^\circ$$, значит треугольник $$AOB$$ равносторонний по сторонам $$OA=OB=AB$$ и его углы при основании равны

$$\angle OAB=\angle OBA=\frac{1}{2}\angle A=\frac{120^\circ}{2}=60^\circ.$$

Пусть $$H$$ — основание перпендикуляра из центра $$O$$ на сторону $$AB$$. Тогда $$OH$$ — радиус вписанной окружности, а в равностороннем треугольнике $$H$$ является серединой стороны $$AB$$, поэтому

$$AH=\frac{AB}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Так как сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной окружности, то

$$OA=AB=\sqrt{3}.$$

В прямоугольном треугольнике $$AOH$$ по теореме Пифагора получаем

$$OH=\sqrt{OA^2-AH^2} =\sqrt{(\sqrt{3})^2-\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} =\sqrt{3-\frac{3}{4}} =\sqrt{\frac{9}{4}} =\frac{3}{2}.$$

Ответ: $$\frac{3}{2}$$.