Подготовка к ЕГЭ Задание 16 Упр.23 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Точка О —центр окружности радиуса 2. На продолжении радиуса ОМ за точку М взята точка А. Через точку А проведена прямая, касающаяся окружности в точке К. Известно, что ?AOK=60° Найдите радиус окружности, вписанной в угол ОАК и касающейся данной окружности извне.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AOK$$. Так как $$AK$$ — касательная к окружности в точке $$K$$, то $$OK \perp AK$$. Тогда

$$ AK=\frac{OK}{\tg \angle AOK}=\frac{2}{\tg 60^\circ}=\frac{2\sqrt{3}}{3}. $$

Найдём угол при вершине $$A$$:

$$ \angle OAK=90^\circ-\angle AOK=30^\circ. $$

Пусть окружность радиуса $$r$$ вписана в угол $$OAK$$ и касается данной окружности извне в точке $$K_1$$. Обозначим её центр через $$O_1$$. Тогда в прямоугольном треугольнике $$AO_1K_1$$

$$ AK_1=\frac{O_1K_1}{\tg \angle A}=\frac{r}{\tg 30^\circ}=r\sqrt{3}. $$

Так как окружности касаются извне, расстояние между их центрами равно сумме радиусов, а расстояние между центрами лежит на одной прямой с точкой касания. Поэтому

$$ KK_1^2=(2+r)^2-(2-r)^2. $$

Отсюда

$$ KK_1^2=8r,\qquad KK_1=2\sqrt{2r}. $$

С другой стороны, по рисунку

$$ KK_1=AK-AK_1. $$

Подставим найденные выражения:

$$ 2\sqrt{2r}=\frac{2\sqrt{3}}{3}-r\sqrt{3}. $$

Умножим на $$\sqrt{3}$$:

$$ 2\sqrt{6r}=2-3r. $$

Возведём в квадрат:

$$ 24r=(2-3r)^2=4-12r+9r^2. $$

$$ 9r^2-36r+4=0. $$

Решаем квадратное уравнение:

$$ D=36^2-4\cdot 9\cdot 4=1296-144=1152=(24\sqrt{2})^2, $$

$$ r=\frac{36\pm 24\sqrt{2}}{18}=2\pm \frac{4\sqrt{2}}{3}. $$

Оба значения подходят.

Ответ

$$ 2-\frac{4\sqrt{2}}{3}\quad \text{или}\quad 2+\frac{4\sqrt{2}}{3}. $$