Упр.229 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. В правильной $$n$$-угольной призме сторона основания равна $$a$$ и высота равна $$h$$. Вычислите площади боковой и полной поверхности призмы, если:
   а) $$n=3$$, $$a=10\ \text{см}$$, $$h=15\ \text{см}$$;
   б) $$n=4$$, $$a=12\ \text{дм}$$, $$h=8\ \text{дм}$$;
   в) $$n=6$$, $$a=23\ \text{см}$$, $$h=5\ \text{дм}$$;
   г) $$n=5$$, $$a=0{,}4\ \text{м}$$, $$h=10\ \text{см}$$.

Для правильной $$n$$-угольной призмы

$$S_{\text{бок}}=P_{\text{осн}}\cdot h=n\cdot a\cdot h,$$

а полная поверхность равна

$$S_{\text{полн}}=S_{\text{бок}}+2S_{\text{осн}}.$$

Площадь правильного $$n$$-угольника со стороной $$a$$:

$$S_{\text{осн}}=\frac{n a^2}{4}\ctg\frac{180^\circ}{n}.$$

1. $$n=3,\ a=10\text{ см},\ h=15\text{ см}.$$

   $$S_{\text{бок}}=3\cdot 10\cdot 15=450\text{ см}^2.$$

   Для равностороннего треугольника

   $$S_{\text{осн}}=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot 10^2=25\sqrt{3}\text{ см}^2.$$

   Тогда

   $$S_{\text{полн}}=450+2\cdot 25\sqrt{3}=450+50\sqrt{3}\approx 536{,}6\text{ см}^2.$$

2. $$n=4,\ a=12\text{ дм},\ h=8\text{ дм}.$$

   $$S_{\text{бок}}=4\cdot 12\cdot 8=384\text{ дм}^2.$$

   Основание — квадрат, значит

   $$S_{\text{осн}}=12^2=144\text{ дм}^2.$$

   Следовательно,

   $$S_{\text{полн}}=384+2\cdot 144=672\text{ дм}^2.$$

3. $$n=6,\ a=23\text{ см},\ h=5\text{ дм}=50\text{ см}.$$

   $$S_{\text{бок}}=6\cdot 23\cdot 50=6900\text{ см}^2.$$

   Для правильного шестиугольника

   $$S_{\text{осн}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2=\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot 23^2=\frac{1587\sqrt{3}}{2}\text{ см}^2.$$

   Тогда

   $$S_{\text{полн}}=6900+2\cdot \frac{1587\sqrt{3}}{2}=6900+1587\sqrt{3}\approx 9649\text{ см}^2.$$

4. $$n=5,\ a=0{,}4\text{ м}=40\text{ см},\ h=10\text{ см}.$$

   $$S_{\text{бок}}=5\cdot 40\cdot 10=2000\text{ см}^2.$$

   Площадь основания:

   $$S_{\text{осн}}=\frac{5a^2}{4}\ctg 36^\circ=\frac{5\cdot 40^2}{4}\ctg 36^\circ=2000\ctg 36^\circ\approx 1376\text{ см}^2.$$

   Тогда

   $$S_{\text{полн}}=2000+2\cdot 1376\approx 4752\text{ см}^2.$$

   Если оставить ответ в виде выражения, то

   $$S_{\text{полн}}=2000+4000\ctg 36^\circ\text{ см}^2.$$

Ответ: а) $$S_{\text{бок}}=450\text{ см}^2,\ S_{\text{полн}}\approx 536{,}6\text{ см}^2$$; б) $$S_{\text{бок}}=384\text{ дм}^2,\ S_{\text{полн}}=672\text{ дм}^2$$; в) $$S_{\text{бок}}=6900\text{ см}^2,\ S_{\text{полн}}\approx 9649\text{ см}^2$$; г) $$S_{\text{бок}}=2000\text{ см}^2,\ S_{\text{полн}}\approx 4752\text{ см}^2$$.