Упр.228 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Основанием наклонной призмы $$ABC A_1B_1C_1$$ является равнобедренный треугольник $$ABC$$, в котором $$AC=AB=13\ \text{см}$$, $$BC=10\ \text{см}$$, а боковое ребро призмы образует с плоскостью основания угол $$45^\circ$$. Проекцией вершины $$A_1$$ является точка пересечения медиан треугольника $$ABC$$. Найдите площадь грани $$CC_1B_1B$$.

Рассмотрим треугольник $$ABC$$. Он равнобедренный, так как $$AB=AC=13$$ см, а основание $$BC=10$$ см. Пусть $$H$$ — основание высоты из вершины $$A$$ на прямую $$BC$$. Тогда в равнобедренном треугольнике $$BH=HC=5$$ см.

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $$AHC$$:

$$AH^2=AC^2-CH^2=13^2-5^2=169-25=144,$$

откуда $$AH=12$$ см.

Точка $$O$$ — точка пересечения медиан треугольника $$ABC$$, значит, она делит медиану $$AH$$ в отношении $$2:1$$, считая от вершины:

$$AO=\frac{2}{3}AH=\frac{2}{3}\cdot 12=8\text{ см}.$$

Проекция вершины $$A_1$$ на плоскость основания — точка $$O$$, поэтому $$A_1O\perp ABC$$. Так как боковое ребро образует с плоскостью основания угол $$45^\circ$$, то в прямоугольном треугольнике $$AA_1O$$ имеем

$$\tan 45^\circ=\frac{A_1O}{AO}=1,$$

следовательно, $$A_1O=AO=8$$ см.

Тогда

$$AA_1=\sqrt{AO^2+A_1O^2}=\sqrt{8^2+8^2}=8\sqrt{2}\text{ см}.$$

Грань $$CC_1B_1B$$ — прямоугольник, поэтому

$$S_{CC_1B_1B}=BC\cdot BB_1.$$

В призме все боковые рёбра равны, значит $$BB_1=AA_1=8\sqrt{2}$$ см. Тогда

$$S_{CC_1B_1B}=10\cdot 8\sqrt{2}=80\sqrt{2}\text{ см}^2.$$

Ответ: $$80\sqrt{2}\text{ см}^2$$.