Упр.228 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Основанием наклонной призмы ABCAxB1Cx является равнобедренный треугольник ABC, в котором AC = AB= 13 см, ВС=10см, а боковое ребро призмы образует с плоскостью основания угол в 45°. Проекцией вершины A1 является точка пересечения медиан треугольника ABC. Найдите площадь грани CC1B1B.

Подробный ответ

Рассмотрим треугольник $$ABC$$. Он равнобедренный, так как $$AB=AC=13$$ см, а основание $$BC=10$$ см. Пусть $$H$$ — основание высоты из вершины $$A$$ на сторону $$BC$$. Тогда в равнобедренном треугольнике эта высота является и медианой, значит

$$BH=HC=5$$ см.

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $$AHC$$:

$$ AH^2=AC^2-CH^2=13^2-5^2=169-25=144, $$

откуда

$$AH=12$$ см.

Точка $$O$$ — точка пересечения медиан треугольника $$ABC$$, поэтому она делит медиану $$AH$$ в отношении $$2:1$$, считая от вершины:

$$ AO=\frac{2}{3}AH=\frac{2}{3}\cdot 12=8 \text{ см}. $$

По условию проекцией вершины $$A_1$$ на плоскость основания является точка $$O$$, а боковое ребро образует с плоскостью основания угол $$45^\circ$$. Значит, в прямоугольном треугольнике $$AA_1O$$

$$\angle AA_1O=90^\circ,\qquad \angle AOA_1=45^\circ,$$

следовательно, треугольник $$AA_1O$$ равнобедренный прямоугольный, и

$$ A_1O=AO=8 \text{ см}. $$

Тогда

$$ AA_1=\sqrt{AO^2+A_1O^2}=\sqrt{8^2+8^2}=8\sqrt{2}\text{ см}. $$

Грань $$CC_1B_1B$$ — прямоугольник, поэтому её площадь равна произведению сторон:

$$ S_{CC_1B_1B}=BC\cdot BB_1. $$

Так как боковые рёбра призмы равны, то $$BB_1=AA_1=8\sqrt{2}$$ см. Тогда

$$ S_{CC_1B_1B}=10\cdot 8\sqrt{2}=80\sqrt{2}\text{ см}^2. $$