Упр.227 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Основание призмы — правильный треугольник ABC. Боковое ребро AA1 образует равные углы со сторонами основания AC и AB. Докажите, что: а) BC ± AA1; б) CC1B1B — прямоугольник.

Подробный ответ

Обозначим $$\angle CAA_1=\angle BAA_1=\varphi.$$ Проведём в треугольнике $$ABC$$ медиану $$AK$$ к стороне $$BC$$. Так как $$ABC$$ — правильный треугольник, то $$AB=AC$$, а значит, треугольники $$AAB_1$$ и $$AAC_1$$ равны по двум сторонам и углу между ними:

$$AA_1$$ — общая сторона, $$AB=AC,$$ $$\angle BAA_1=\angle CAA_1.$$

Следовательно, $$A_1B=A_1C.$$

Рассмотрим треугольники $$ABA_1$$ и $$ACA_1.$$ Они равнобедренные, поэтому медиана $$AK$$, проведённая к основанию $$BC,$$ является в них высотой. Значит,

$$AK\perp BC.$$

Так как $$A_1B=A_1C,$$ то точка $$A_1$$ тоже лежит в плоскости, перпендикулярной $$BC$$ и проходящей через $$A$$ и $$K$$. Следовательно, прямая $$AA_1$$ перпендикулярна $$BC$$:

$$BC\perp AA_1.$$

Это и требовалось доказать в пункте а).

Теперь докажем пункт б). В призме $$CC_1B_1B$$ — параллелограмм, поэтому

$$CC_1\parallel BB_1,\qquad C_1B_1\parallel CB.$$

Из пункта а) имеем $$AA_1\perp BC.$$ Кроме того, в призме боковые рёбра параллельны, значит $$CC_1\parallel AA_1.$$ Тогда

$$CC_1\perp BC.$$

Следовательно, в параллелограмме $$CC_1B_1B$$ один угол прямой, значит этот параллелограмм — прямоугольник.