Упр.227 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Основание призмы — правильный треугольник $$ABC$$. Боковое ребро $$AA_1$$ образует равные углы со сторонами основания $$AC$$ и $$AB$$. Докажите, что:
а) $$BC\perp AA_1$$;
б) $$CC_1B_1B$$ — прямоугольник.

Подробный ответ

Проведём в основании призмы дополнительное построение: отметим середину отрезка $$BC$$ и обозначим её через $$H$$.

Рассмотрим треугольники $$CAA_1$$ и $$BAA_1$$. По условию $$\angle CAA_1=\angle BAA_1$$, а сторона $$AA_1$$ у них общая. Кроме того, $$ABC$$ — правильный треугольник, значит $$AC=AB$$. Следовательно, $$\triangle CAA_1 \cong \triangle BAA_1$$ по двум сторонам и углу между ними.

Отсюда $$CA_1=BA_1$$. Значит, треугольник $$BCA_1$$ равнобедренный, и медиана $$AH$$, проведённая к основанию $$BC$$, является высотой. Поэтому

$$AH\perp BC.$$

Аналогично, треугольник $$BCA$$ равнобедренный, так как $$AB=AC$$. Тогда медиана $$AH$$ к основанию $$BC$$ также является высотой, то есть

$$AH\perp BC.$$

Так как прямые $$AA_1$$ и $$AH$$ лежат в плоскости $$AA_1H$$ и обе перпендикулярны прямой $$BC$$, то

$$BC\perp (AA_1H).$$

Следовательно, $$BC\perp AA_1$$, что и требовалось доказать в пункте а).

Теперь рассмотрим четырёхугольник $$CC_1B_1B$$. По свойству призмы он является параллелограммом, значит

$$CC_1\parallel BB_1,\qquad C_1B_1\parallel CB.$$

Так как $$BC\perp AA_1$$, а боковые рёбра призмы параллельны, то $$CC_1\parallel AA_1$$ и, следовательно, $$CC_1\perp BC$$. В параллелограмме $$CC_1B_1B$$ одна из сторон перпендикулярна соседней стороне, значит этот параллелограмм — прямоугольник.

Итак, $$CC_1B_1B$$ — прямоугольник.