Упр.226 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

В правильной четырёхугольной призме через диагональ основания проведено сечение, параллельное диагонали призмы. Найдите площадь сечения, если сторона основания призмы равна $$2\text{ см}$$, а её высота равна $$4\text{ см}$$.

Основание правильной четырёхугольной призмы — квадрат со стороной $$2$$ см, значит его диагональ равна

$$BD=2\sqrt{2}\text{ см}.$$

Плоскость сечения проходит через диагональ основания и параллельна диагонали призмы, поэтому сечение — параллелограмм, а в данной призме это прямоугольник $$B D H K$$, где $$BH \parallel AC_1$$.

Найдём длину диагонали призмы $$AC_1$$. Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами, равными диагонали основания и высоте призмы:

$$AC_1^2=AC^2+CC_1^2.$$

Так как $$AC=2\sqrt{2}$$, $$CC_1=4$$, то

$$AC_1^2=(2\sqrt{2})^2+4^2=8+16=24,$$
$$AC_1=2\sqrt{6}.$$

Высота сечения, опущенная на $$BD$$, равна половине диагонали $$AC_1$$:

$$OH=\frac{AC_1}{2}=\sqrt{6}\text{ см}.$$

Тогда площадь сечения:

$$S=\frac{1}{2}\cdot BD\cdot OH=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{2}\cdot \sqrt{6}=2\sqrt{3}\text{ см}^2.$$

Ответ: $$2\sqrt{3}\text{ см}^2$$.