Упр.226 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: B правильной четырехугольной призме через диагональ основания проведено сечение параллельно диагонали призмы. Найдите площадь сечения, если сторона основания призмы равна 2 см, а ее высота равна 4 см.

Подробный ответ

Основание правильной четырёхугольной призмы — квадрат со стороной $$AB=2$$ см, значит его диагональ

$$AC=AB\sqrt{2}=2\sqrt{2}.$$

Плоскость сечения проходит через диагональ основания и параллельна диагонали призмы, поэтому сечение — треугольник $$BDH$$, где $$H\in CC_1$$ и $$BH \parallel AC_1.$$

Найдём длину диагонали призмы $$AC_1$$. В прямоугольном треугольнике $$ACC_1$$ имеем

$$AC_1^2=AC^2+CC_1^2=(2\sqrt{2})^2+4^2=8+16=24,$$

откуда

$$AC_1=2\sqrt{6}.$$

Так как в квадрате диагонали пересекаются и делятся пополам, то точка пересечения диагоналей основания является серединой диагонали $$AC$$. Из параллельности $$BH \parallel AC_1$$ следует, что высота треугольника $$BDH$$ равна половине диагонали призмы:

$$OH=\frac{AC_1}{2}=\sqrt{6}.$$

Основание треугольника $$BDH$$ равно диагонали квадрата:

$$BD=AC=2\sqrt{2}.$$

Тогда площадь сечения:

$$S_{BDH}=\frac{1}{2}\cdot BD \cdot OH=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{2}\cdot \sqrt{6}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}.$$